Abbiamo già visto nel capitolo generale quali sono le regole e le proprietà dei radicali. In questa lezione vedremo in maniera più approfondita come si fa la somma di radicali. Vedremo cioè concretamente che tipo di operazioni è possibile eseguire quando abbiamo l’addizione tra radici.
La somma di radicali? E’ come la somma di monomi
Prima di addentrarci nel pieno dell’argomento, è necessario fare un piccolo ripasso. Ti ricordi come si fa la somma tra monomi? Riassumendo brevemente avevamo detto che, nell’espressione:
2xy+4x+3x3y+3x
i termini 4x e 3x hanno la stessa parte letterale, per cui si definiscono monomi simili. Si può fare la somma algebrica (cioè addizione o sottrazione) solo tra monomi simili.
Come si fa la somma di radici
Le somme di radicali applicano praticamente lo stesso principio. Si individuano dei termini simili, ma questa volta non la x cioè la lettera in comune, ma la radice. Il segreto sta quindi nell’individuare i radicali da sommare considerando solo quelli che hanno stessa radice.
Per stessa radice intendiamo stesso indice di radice e stesso radicando. La ci dice che:
La somma di due radici è una nuova radice che ha stessa radice e somma dei coefficienti
In parole povere basta sommare i coefficienti accanto ad ogni radice simile per ottenere il risultato concreto. E’ come fare un’addizione astratta tra due oggetti: 1 tavolo + 2 tavoli fa 3 tavoli. Ma 1 tavolo + 1 sedia non si possono sommare… Abbiamo reso l’idea?
Questo vuol dire che:
- si possono sommare solo radicali simili;
- non si può fare la somma di radici non simili;
- non si può fare la somma tra radicali e numeri interi
Vediamo subito qualche esempio concreto.
Esempio 1)
√2+√3
Radical due e radical tre sono due radici differenti per cui non possono essere sommati. Ti chiederai come si può semplificare questa espressione? In nessun modo. Non ci sono infatti altri passaggi da fare, l’esercizio non può essere risolto.
Esempio 2)
√2+√3+5√2
In questo caso ci sono tre somme di radicali, ma dei tre addendi solo due hanno una radice in comune. Considerando che il primo elemento puoi scriverlo anche come 1√2 e che l’ultimo è 5√2, ti rendi perfettamente conto che hanno la radice di 2 in comune. In questo caso e solo tra questi due elementi è possibile calcolare la somma tra radici. Come?
1√2+5√2= ?
Il primo passo è quello di fare un raccoglimento a fattor comune dei termini in comune, cioè √2. Si ottiene quindi:
=√2(1+5)=
In questo modo si può eseguire la somma tra i due numeri (1+5)=6 per ottenere quindi
=√2(6)=
A questo punto mettiamo in ordine il numero appena trovato. Si mette prima il numero intero e poi dopo la radice, per cui il risultato è:
6√2
Tornando quindi nell’esercizio precedente:
√2+√3+5√2=√3+6√2
A questo punto non si può più procedere oltre e ci fermiamo. Non si possono fare altre somme tra radicali essendo radice di 2 e radice di 3 diverse.
Esempio 3)
Prova a svolgere la seguente somma di radici:
√2+√8
La prima cosa che ci viene in mente è dire che l’addizione non si può svolgere perché le due radici non sono uguali. L’indice di radice è lo stesso, ma cambia il radicando. Quindi la somma tra radici non si può fare. Vero? SBAGLIATO! Perché è fondamentale che le radici non siano riducibili. La radice di 8 infatti può essere trasformata in 2√2. Come abbiamo fatto? Segui i passaggi:
√8 = √(4·2)=
Al posto di 8 abbiamo semplicemente scritto 4·2. Andiamo avanti dividendo le due radici…
√(4·2)=√4·√2=
A questo punto sappiamo che la radice di 4 fa 2, per cui otteniamo:
=√4·√2=2√2.
Tornando all’esercizio sulla somma di radici, abbiamo:
√2+√8= √2+2√2
Come puoi ben vedere, ora ci sono due radici “simili” cioè che possono essere sommate. Il risultato sarà quindi:
√2+2√2=3√2.
Esempio 4)
Proviamo a risolvere un’espressione algebrica contenente una somma di radicali fratti.
√(25/36) + (√4)/6=
La prima operazione è verificare se ci sono delle radici che possono essere semplificate.
=5/6 + 2/6 =7/6
Per concludere questa lezione ti ricordiamo che nell’eventualità in cui dovesse presentarsi una radice al denominatore non direttamente risolvibile, è necessario procedere con la tecnica della razionalizzazione dei radicali.