e elevato a infinito – quanto vale l’esponenziale all’infinito?

Quanto fa e elevato a infinito? E’ un espressione che ricorre spesso negli esercizi con i limiti, ma tanti studenti vanno in difficoltà e si confondono.

In questa guida vediamo perché la funzione esponenziale all’infinito è pari proprio ad infinito. Inoltre vedremo anche cosa succede quando all’esponente c’è il segno meno, cioè risponderemo alla domanda quanto fa e alla meno infinito?

e elavato a infinito quanto fa?

Il risultato di questa operazione è proprio infinito, cioè possiamo scrivere che:

e-elevato-a-infinito

Ti starai chiedendo perché questo risultato. Per rispondere a questa domanda possiamo dare due diverse motivazioni, una numerica e una grafica.

e elevato a infinito – è una potenza!

Analizzando l’operazione da svolgere, puoi renderti conto che si tratta di una semplice potenza. La base è un numero finito, e che abbiamo già definito come Numero di Nepero e pari a 2,71. L’esponente è un infinito che possiamo approssimare però ad un numero molto alto.

Prova sulla tua calcolatrice a scrivere 2,71 elevato a 100… vedrai un’espressione del tipo 1,98e+43, che corrisponde a 1,98·10^43. Si tratta di un numero incredibilmente alto, cioè infinito

e elevato a infinito col metodo grafico

La prima spiegazione è la più semplice da ricordare ma forse quella meno rigorosa e matematica. Se vuoi fare bella figura con l’insegnante è meglio citare il grafico della funzione esponenziale.

Non te lo ricordi? Eccolo in figura…

e-alla-infinito

Chiediamoci: cosa succede alla y quando la x va verso infinito? Cioè che succede alla curva man mano che procede verso la parte destra del grafico?

La curva si alza sempre di più, quindi vuol dire che la y diventa sempre più grande, cioè va verso infinito.

Quindi semplicemente ricordandoti il graficoe-elevato-a-infinito-meno

Poiché 1/e è un numero compreso tra 0 e 1 (se non ci credi prova sulla tua calcolatrice), allora il grafico della funzione esponenziale cambia.

e-elevato-a-meno-infinito

In questo caso quando la x si sposta verso destra, cioè verso infinito, la curva si abbassa sempre più verso lo 0. In questo caso infatti y=0 è un asintoto orizzontale della funzione.

Quindi e elevato a infinito con il segno meno è proprio pari a 0.

Conclusioni

Abbiamo visto in questa lezione il comportamento all’infinito dell’esponenziale con base e. Ti sarai reso conto che basta trattare il numero di Nepero come un numero qualsiasi per semplificarti i ragionamenti ed evitare dubbi o errori.

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