Problemi sul parallelogramma – esercizi per la seconda media

Hai bisogno di esercitarti con dei problemi sul parallelogramma? Abbiamo raccolto in questa lezione una serie di esercizi e problemi svolti su questa figura geometrica. Troverai molti passaggi commentati, cos√¨ da agevolartene la comprensione. I problemi sui parallelogrammi sono ordinati per difficolt√† crescente, per cui inizia dall’inizio e leggiti con calma i vari metodi di risoluzione.

Conoscenze necessarie per risolvere i problemi

Per poter seguire questa esercitazione è importante che tu conosca le principali formule sul parallelogramma. Durante lo svolgimento dei vari problemi di geometria troverai diversi approfondimenti cliccabili che ti aiuteranno a comprendere le formule e le tecniche utilizzate per arrivare ad una soluzione.

Problemi parallelogramma

Esercizio 1

Un parallelogramma ha un lato che misura 2,6 cm e quello consecutivo 1,4 cm in pi√Ļ del precedente. Calcola la misura del secondo lato.

Svolgimento

AB=2,6 cm
BC=AB+1,4 cm

Si tratta di un esercizio estremamente semplice. Dobbiamo semplicemente calcolare il lato BC ed abbiamo già tutti i dati a disposizione. Per cui possiamo arrivare alla soluzione in un unico passaggio.

BC=AB+1,4=2,6+1,4

BC = 4 cm

Esercizio 2

Il perimetro del parallelogramma misura 390 cm e un lato √® il quadruplo dell’altro. Calcolare la misura dei due lati.

p=390 cm

AB=4BC

Svolgimento

Ti ricordi come si calcola il perimetro del parallelogramma? Basta fare la somma dei lati ed essendo uguali i lati opposti, possiamo scrivere:

p=2AB+2BC

Possiamo risolvere il problema sul parallelogramma dividendo il semiperimetro in tanti segmenti tutti uguali tra loro. Quanti? Poiché AB=4BC possiamo dividere in 5 parti uguali (chiamate unità frazionarie).

p/2=AB+BC con BC=1u e AB=4u

problemi-parallelogramma

A questo punto dividiamo il semiperimetro per le unità frazionarie per ottenere la singola u che è pari proprio a BC.

BC=195/5 = 39 cm

AB= 4√ó39 = 156 cm

Esercizio 3

Dato il parallelogramma con perimetro pari a 182 cm, un lato supera il suo consecutivo di 21 cm. Calcola la misura dei lati.

p=182 cm

AB=BC+21 cm

Svolgimento

Abbiamo visto che quando c’√® il rapporto tra i lati si pu√≤ usare il metodo delle unit√† frazionarie. In questo caso invece abbiamo una somma, per cui usiamo un metodo differente per risolvere il problema di geometria sul parallelogramma. In particolare calcoliamo subito il semiperimetro:

p = 2(AB+BC) = 182 cm

p/2=AB+BC=182/2 = 91 cm

A questo punto calcoliamo il lato maggiore attraverso la semisomma del semiperimetro pi√Ļ la differenza tra i due lati. Il lato minore si calcola con la semi-differenza di semiperimetro e differenza tra i lati. Quindi:

AB=(p+21)/2

AB=(p-21)/2

AB=(91+21)/2=56 cm

BC=(91-21)/2=35 cm

Ovviamente questo problema sul parallelogramma poteva essere risolto anche con le equazioni di primo grado, ma generalmente non rientrano ne programmi delle scuole medie.

Esercizio 4

La somma di due lati consecutivi di un parallelogramma è 8 cm e il primo è 2/3 del secondo. Calcola il perimetro e la misura dei lati.

AB+CB=8cm

AB=2/3BC

Svolgimento

Sostanzialmente questo problema di geometria √® molto simile al n.2 visto in questa esercitazione. Abbiamo una semisomma e c’√® un rapporto tra i lati. Quindi proviamo a risolvere l’esercizio con il metodo delle unit√† frazionarie.

Poiché AB=2/3BC → 3AB=2BC → AB=3u e BC=2u

AB √® uguale a 3 unit√† frazionarie, mentre BC √® uguale a 2 unit√†. Quanto vale u? Basta dividere l’intero segmento (8 cm) per il numero di unit√†. Quindi:

u=8 cm/5 = 1,6 cm

AB=2u=3,2 cm

BC=3u=4,8 cm.

Come verifica, si nota che AB+BC è proprio pari a 8 cm per cui il risultato è verificato.

Esercizio 5

Un parallelogramma ha il perimetro di 39 cm, il lato maggiore è il doppio del minore. Calcolare la misura dei due lati.

p=39cm
AB=2BC

Svolgimento

Il procedimento √® analogo al precedente, ma non abbiamo pi√Ļ la somma di 2 lati, ma di 4 lati. Per cui invece del perimetro usiamo il semiperimetro.

p=2(AB+BC)=39 cm

p/2=AB+BC=18 cm

A questo punto, poich√© AB=2BC, dividiamo il segmento in 3 parti (2 di AB e 1 di BC). AB sar√† quindi pari a 1 unit√† frazionaria, mentre BC=2u. Possiamo quindi calcolare quanto vale l’unit√† frazionaria.

u=18 cm/3= 6 cm

AB=2u=12 cm

BC=1u = 6 cm.

Esercizio 6

In un parallelogramma, un lato è i 3/5 di quello consecutivo. La loro differenza è invece 16 cm. Calcola la misura dei lati e il perimetro.

AB-CD=16 cm

AB=3/5 cm

Svolgimento

Anche in questo caso dobbiamo usare le unit√† frazionarie. Questa per√≤ non c’√® pi√Ļ la somma, ma la differenza. Disegniamo quindi 5 segmenti uguali. Perch√© proprio 5? E’ il numero al denominatore della frazione. Subito sotto disegniamo 3 segmenti per ottenere CD. Perch√© proprio 3? E’ il numeratore della frazione.

problema-parallelogramma-differenza-lati

Come puoi notare dal grafico ci sono 2 segmenti di differenza tra AB e CD. Questo significa che AB-CD=2u (unità frazionarie).

Poiché la differenza tra i lati consecutivi del parallelogramma ci viene data dalla traccia ed è pari a 16 cm, allora 2u=16.

Per  cui u=8 cm.

A questo punto ricomponiamo i segmenti e scriviamo:

AB=5u=40 cm
CD=3u=24 cm.

Esercizio 7

Un parallelogramma di perimetro 144 cm ha i due lati consecutivi con differenza 12 cm. Calcola la lunghezza di ciascun lato.

2(AB+BC)=144

AB-BC=12 cm

Svolgimento

In questo caso dobbiamo risolvere con il metodo della somma e della differenza tra i lati. Dato che il perimetro è il doppio della somma, calcoliamo il semiperimetro.

p/2=AB+BC=144/2 cm

p/2=77 cm

A questo punto usiamo le formule:

L = lato maggiore = (S+D)/2

l = lato minore = (S-D)/2

AB=(77+12)/2= 44,5 cm

BC=(77-12)/2= 32,5 cm

Nota: le formule viste ora, si ricavano risolvendo un semplice sistema di primo grado con il metodo della somma e della differenza. Questo metodo si studia alle scuole superiori.

Esercizio 8

Il perimetro di un parallelogramma è 436 cm, un lato supera di 26 cm il doppio del suo consecutivo. Calcola la misura dei lati del parallelogramma dato.

2p=436 cm

AB=2BC+26 cm

Svolgimento

Come sempre invece di considerare il perimetro, calcoliamo il semiperimetro, così da ottenere la somma dei due lati consecutivi.

p/2=AB+BC=218 cm

Sempre con il metodo dei segmenti e delle unità frazionarie possiamo disegnare il grafico:

problemi-geometria-parallelogramma

Come puoi vedere consideriamo il segmento CD=1u, mentre il lato BC è uguale al doppio di CD a cui va sommato 26 cm alla fine. Questo vuol dire che la loro somma è:

AB+BC=2u+26cm+1u

AB+ BC=3u+26 cm

Poiché AB+BC=218 cm, allora sottraendo quei 26 cm alla misura del semiperimetro ottengo

218-26=3u

3u=192

u=BC=64

AB=2BC+26=154 cm.

 

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