La parte decimale del logaritmo, la mantissa e la caratteristica di un logaritmo

Nelle precedenti lezioni abbiamo visto quali sono le proprietà dei logaritmi, le regole per il cambiamento di base di un logaritmo ed alcuni esercizi svolti. Si tratta di nozioni importanti soprattutto quando si andranno a studiare le equazioni logaritmiche. Proprio per questa ragione, prima di parlare di parte decimale del logaritmo, ti consigliamo di riguardare le precedenti lezioni se ancora hai dei dubbi.

Quella di oggi è più che altro una lezione sui logaritmi di approfondimento. Negli esercizi di matematica che svolgi in classe, infatti, difficilmente dovrai risolvere e calcolare la parte decimale del logaritmo di un numero. Questo anche grazie alle calcolatrici scientifiche utilizzate ormai da tutti gli studenti delle scuole superiori.

Il calcolo della caratteristica e della mantissa ci servono sostanzialmente per il calcolo logaritmi a mano, senza usare la calcolatrice.

Fatta questa doverosa premessa iniziamo subito dando la definizione di mantissa e caratteristica.

Come si chiama la parte decimale del logaritmo? Come si chiama quella intera?

Se l’argomento del logaritmo è composto da un numero decimale, ecco le due definizioni.

  • si definisce caratteristica di un numero positivo la parte intera del logaritmo
  • si definisce mantissa di un numero positivo la parte decimale del logaritmo.

Per capire come si calcola la parte decimale del logaritmo, cioè la mantissa, e la parte intera, cioè la caratteristica sono doverose alcune osservazioni preliminari.

Alcune regole per il calcolare un logaritmo

… per i numeri maggiori o uguali di 1

Ogni numero maggiore e uguale a 1 è sempre compreso tra due potenze successive in base 10, con esponente non negativo.

Che cosa significa questo? Che qualsiasi numero, anche se ha una parte decimale, è sempre compreso tra 10 elevato a qualcosa e 10 elevato allo stesso numero aumentato di 1. Facciamo qualche esempio per essere più chiari.

parte-decimale-del-logaritmo-regola-1

Possiamo quindi generalizzare questa formula dicendo che se N è il generico numero composto da n cifre prima della virgola, allora vale la regola:

regola-1-parte-decimale-del-logaritmo

Proviamo ad applicare il logaritmo decimale a tutti i membri di questa semplice disequazione.

parte-decimale-del-logaritmo-a

 

Questo significa che quando si fa il calcolo di un logaritmo di un numero generico N questo è sempre compreso tra il numero di cifre -1 e il numero di cifre. Ad esempio il logaritmo in base 10 di 20 è compreso tra 1 e 2, visto che il numero di cifre è 2.

… per i numeri compresi tra 0 e 1

Allo stesso modo possiamo dire che ogni numero compreso tra 0 e 1 è sempre compreso tra due potenze successive in base 10, con esponente negativo. Vediamo subito qualche esempio:

parte-decimale-del-logaritmo-regola-2

Anche in questo caso possiamo generalizzare la formula dicendo che se N è il generico numero composto da n volte lo zero, vale la regola:

regola-2-parte-decimale-del-logaritmo

parte-decimale-del-logaritmo-2

Calcolo logaritmi: come calcolare la parte intera di un logaritmo?

A cosa ci servono queste due proprietà viste sopra? A calcolare la caratteristica, cioè la parte intera. Vedremo inseguito come calcolare la parte decimale del logaritmo. Facciamo subito un esempio per essere più chiari.

Esempio 1

Immaginiamo di voler calcolare il logaritmo in base 10 di 5,84. 5 è la caratteristica, cioè la parte intera, mentre 84 è la parte decimale del logaritmo, cioè la mantissa.

Per il momento possiamo calcolare solo quanto vale la parte intera.

log 5,84= ?

Sappiamo che 5,84 è composto da 1 sola cifra prima della virgola per cui usando la prima formula ricavata ottengo che il suo logaritmo è compreso tra n-1 ed n.

0<log 5,84<1

Questo vuol dire che log 5,84= 0, …. cioè il logaritmo decimale di 5,84 è uguale a 0 virgola qualcosa.

Esempio 2

Calcolo logaritmo decimale di 283,23. Per ora possiamo solo calcolare la caratteristica. Visto che n=numero di cifre intere=3, allora vale n-1<logN<n, quindi 2<log283,83<3. Questo vuol dire che log283,23=2, … cioè è pari a 2 virgola qualcosa.

Esempio 3

Calcolo logaritmo decimale di 0,004. In questo caso applichiamo la seconda formula. Poiché n=numero di zeri compreso quello prima della virgola = 3, allora -n<logN<-(n+1), vuol dire che il log0,004 deve essere compreso tra -3 e -4. Cioè log0,004=-3,… cioè è pari a -3 virgola qualcosa.

Come si calcola la parte decimale del logaritmo, calcolo della mantissa

Abbiamo visto sino ad ora come calcolare un logaritmo a mano o a mente, ma solo la parte intera. Vediamo come calcolare la parte decimale del logaritmo, cioè la mantissa. Purtroppo per avere un certo grado di precisione con le cifre decimali è necessario avere a disposizione delle tavole logaritmiche, che usavano i nostri genitori e i nostri nonni, oppure una calcolatrice.

Generalmente questa tavole sono disponibili alla fine di ogni libro di matematica e ne esiste una a seconda di quanti sono i numeri della parte decimale. Quella che ti mostriamo è infatti una tavola logaritmica per numeri da 1 a 100 con 4 cifre nella mantissa.

Esempio

Immaginiamo ad esempio di voler capire come calcolare il logaritmo log40,2314. Per quanto abbiamo detto fino ad ora, sappiamo che la sua caratteristica è c=2. A questo punto entriamo nella tabella e nella colonna a sinistra in blu troviamo il numero 40. Muoviamoci sulla sua riga fino a quando non arriviamo alla sua prima cifra decimale.

tavola-logaritmica-decimali
Tavola logaritmica decimali 4 cifre

In questo caso il numero che ci interessa è 6042. Si ripete a questo punto la stessa operazione anche sulla tavola delle differenze tabulari e si prende nota del numero. Si sommano i due valori individuati e si ottiene anche la parte decimale del logaritmo. A questo link trovi un interessante approfondimento pdf sul calcolo dei logaritmi a mano.

Hai potuto renderti conto in questa lezione che il calcolo logaritmi a mano o a mente non è difficile, ma si tratta di un’operazione piuttosto laboriosa che richiede un po’ di tempo. Oggi questo tipo di calcolo non si effettua più a scuola, né viene richiesto agli studenti. Questo perché le moderne calcolatrici sono in grado di calcolare il logaritmo di qualsiasi numero istantaneamente.

Come sempre se dovessi aver dubbi sulla lezione di oggi contattaci, un nostro docente ti aiuterà a risolvere i tuoi problemi.

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