Disequazioni di primo grado, spiegazione e definizione

Nella lezione di oggi parleremo delle disequazioni di primo grado, analizzando formule ed esercizi svolti per iniziare a trattare un argomento ostico per molti studenti, ma che con i nostri suggerimenti potrai padroneggiare pienamente senza difficoltà.


INDICE

Che differenza c’è tra equazioni e disequazioni?

Come si risolvono le disequazioni di primo grado?

Come disegnare il grafico

Esercizi svolti ed esempi


Uno degli argomenti considerati più difficili dagli studenti, sono le equazioni e le disequazioni. Nelle precedenti lezioni abbiamo già parlato delle equazioni di primo grado ed abbiamo visto come risolvere anche gli esercizi più complessi, dalle equazioni fratte ai sistemi di primo grado. In particolare in quest’ultimo argomento vedrai le disequazioni di primo grado con due variabili. Ma è meglio partire un passo alla volta.

Iniziamo subito con la spiegazione delle disequazioni di primo grado con una domanda:

Che differenza c’è tra equazioni e disequazioni di primo grado?

Questa è la prima domanda che si pone uno studente. La risposta può sembrare banale: nelle equazioni compare il segno = (uguale) mentre nelle disequazioni ci sono i simboli < (minore) e > (maggiore). 

Ciò ha una conseguenza importantissima. Mentre nelle equazioni noi riuscivamo a trovare una soluzione dell’esercizio, nelle disequazioni troviamo un’intervallo di soluzioni. Facciamo un esempio pratico: mentre x=2 significa che x vale proprio 2, la disequazione x>2 significa che x può essere qualsiasi numero maggiore di 2 (quindi 3, 4, 5, … fino ad arrivare a infinito). Ricordiamoci inoltre che una disequazione di primo grado ammette sempre soluzioni. Tieni questa regola ben valida ora e almeno fino a quando non studieremo assieme le condizioni di esistenza.

Come risolvere le disequazioni di primo grado?

Una disequazione di primo grado è sempre riconducibile alla forma:

disequazioni-di-primo-grado-forma-base

a e b si definiscono coefficienti ed hanno valori numerici appartenenti all’insieme dei numeri reali. Non lasciamoci impressionare se, nei problemi che affronterai, troverai delle disequazioni di primo grado a coefficienti irrazionali. Ti basta ricordare le regole sui radicali e risolvere la disequazione come stiamo per mostrarti…

Per tutti gli esercizi sulle disequazioni di primo grado sarà fondamentale cercare di arrivare ad una di queste quattro forme. Arrivati a questa forma, risolviamo come già siamo abituati negli esercizi sulle equazioni di primo grado. Il coefficiente della x (cioè a) che troviamo moltiplicato a sinistra, si porta al secondo membro con il diviso, per ottenere quindi:

disequazioni-di-primo-grado-risoluzione

La cosa fondamentale da ricordare è che nelle disequazioni di primo grado se vogliamo cambiare tutti i segni va cambiato anche il verso. Mentre cioè nelle equazioni di primo grado era sufficiente cambiare solo tutti i segni, qui dobbiamo ricordarci di trasformare il maggiore in minore e viceversa.

Nella nostra esperienza abbiamo avuto modo di constatare che gli studenti ci chiedono un aiuto soprattutto quando i coefficienti sono delle frazioni. Se invece di a e b abbiamo delle frazioni cosa succede? E’ un aspetto che abbiamo già evidenziato nelle equazioni di primo grado, ma è meglio ribadirlo piuttosto che avere dei dubbi. Facciamo subito lo schema di come risolvere:

disequazioni-primo-grado-frazioni

Come puoi notare è sufficiente trasportare la prima frazione (il coefficiente della x) al secondo membro come prodotto e capovolgerla: il numeratore diventa denominatore e viceversa. Seguendo questa regola non avrai più bisogno di aiuto e sicuramente eviterai dubbi o errori.

Il grafico delle disequazioni di primo grado

Una delle domande che ci viene più frequentemente fatta dagli studenti a lezione è il grafico delle disequazioni, che crea spesso non pochi problemi ed errori.

Immaginiamo di aver ottenuto dalla nostra disequazione di primo grado il risultato x>2 e di voler disegnare il grafico. Disegniamo per prima cosa una retta orientata, cioè una retta in cui mettiamo in ordine i numeri in senso crescente. Che cos’è la retta orientata? Eccola…

grafico-disequazioni-primo-grado

A questo punto individuiamo sulla retta orientata il risultato della disequazione e disegniamolo con un puntino. Per semplicità elimineremo tutti gli altri numeri (non ci sono necessari, per cui tanto vale non disegnarli). Ecco i passaggi da fare:

retta-orientata-disequazioni
1 – Disegnare la retta orientata
3 - Se il verso della disequazione è MAGGIORE disegno una linea continua verso destra. Se il segno è MINORE la linea andrà verso sinistra
2 – Inserisco sul grafico la soluzione della disequazione.

Se il verso della disequazione è MAGGIORE disegno una linea continua verso destra. Se il segno è MINORE la linea andrà verso sinistra.

Ti stai chiedendo perché quando il risultato della disequazione è “maggiore” bisogna disegnare verso destra? Perché alla destra del numero 2, sulla retta orientata, ci sono tutti i numeri maggiori di 2 (cioè 3, 4, 5, …). Per cui è evidente che se x>2 bisogna il grafico della disequazione si disegna con una retta dove ci sono i numeri maggiori di 2, cioè verso destra.

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Che cambia tra maggiore e maggiore e uguale?

L’ultima domanda che ci poniamo è questa. Abbiamo visto infatti nei quattro casi generali in alto che sono frequenti gli esercizi sulle disequazioni di primo grado con il simbolo minore e uguale o maggiore e uguale.

Quell’uguale mi comporta un’unica modifica nella soluzione finale. Mentre cioè per x>2 sono valide tutte le soluzioni maggiori di due (come 3, 4, 5, 6, … fino a infinito) per x maggiore e uguale di 2 sono valide le stesse soluzioni ma è compreso anche il 2! Cioè per x maggiore e uguale di 2 le soluzioni sono 2, 3, 4, 5, … fino a infinito. Quindi anche la soluzione stessa è compresa.

Sul grafico bisogna semplicemente ricordarsi di mettere un pallino pieno in corrispondenza delle soluzioni comprese. Negli esercizi svolti ti sarà tutto più chiaro.

Disequazioni di primo grado risolte

Quelli che ti proponiamo ora sono alcuni esercizi e problemi risolti con soluzione. Vedrai che risolvere le disequazioni di primo grado è molto semplice.

  1. Il primo esercizio è quasi immediato. Non ci sono particolari operazioni da fare, se non quello di trasportare il termine noto (cioè quello senza la x) al secondo membro della disequazione di primo grado. Ecco l’esercizio risolto con il grafico finale:
    disequazioni-di-primo-grado-risolte-1
  2. La seconda disequazione risolta vede una particolarità. Iniziamo a svolgere i calcoli. Commenteremo alla fine il risultato:
    disequazioni-di-primo-grado-risolte-n2Cosa sono quei segni strani e perché non c’è una soluzione? Perchè alla fine della disequazione ci siamo trovati 0x maggiore e uguale di 0. Cioè 0 maggiore e uguale di 0. Poichè 0 è sempre maggiore (ma soprattutto) UGUALE a 0, allora l’esercizio è sempre valido PER OGNI X APPARTENENTE AD R. Cioè la disequazione è verificata per qualsiasi valore assuma x nell’insieme dei numeri reali R.
    Che significano quei simboli? ∀ significa “per ogni”∈ significa “appartiene” e R è l’insieme dei numeri Reali.
  3. L’ultima disequazione di primo grado risolta ha anche le lettere, così da guidarti anche negli esercizi che per te sembra più difficili. Attenzione al simbolo maggiore e uguale.
    disequazioni-di-primo-grado-risolte-n3(*) Con il calcolo letterale nelle disequazioni di primo grado, ricordiamoci di isolare – cioè mettere in evidenza – l’incognita. Il termine che comparirà tra parentesi andrà portato poi al secondo membro al denominatore.
    (**) Attenzione alla messa in evidenza. Abbiamo prima risolto la differenza dei due quadrati e successivamente la messa in evidenza parziale.

Per ulteriori chiarimenti o per risolvere dubbi, restiamo come sempre a tua disposizione tramite il modulo contatti. Per continuare ad allenarti ti consigliamo questo PDF di Etas Scuola.

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