Seno iperbolico – senh(x) – definizione, formula e proprietà

Il seno iperbolico si indica generalmente con sinh(x) o senh(x) e appartiene ad una famiglia di funzioni particolari con proprietà simili alle funzioni goniometriche. La differenza principale sta nel fatto che mentre seno e coseno si ricavano dalla circonferenza goniometrica, il seno iperbolico e il coseno iperbolico si ricavano dal grafico dell’iperbole.

Definzione

La prima domanda a cui bisogna rispondere è: che cos’è il seno iperbolico?

seno-iperbolico-definizione

Seno iperbolico definizione

Data un’iperbole equilatera di equazione X²-Y²=1 centrata sull’origine degli assi cartesiani e dato un angolo α, andiamo a considerare il settore iperbolico disegnato in rosso di area α/2. Questo determina sull’iperbole un punto P. Si definisce seno iperbolico l’ordinata del punto P.

sinh(x)=yP

Le funzioni iperboliche vengono definite attraverso l’uso di funzioni esponenziali con base naturale. In questo caso possiamo scrivere che:

seno-iperbolico

Proprietà

Grafico del seno iperbolico

Al grafico disegnato nel piano cartesiano si arriva facilmente effettuando un normale studio di funzione che riportiamo di seguito.

seno-iperbolico-grafico

Dominio

Dalla definizione che abbiamo appena espresso, possiamo individuare il campo di esistenza della funzione seno iperbolico. Il dominio degli esponenziali ex e e-x è tutto R. Per cui possiamo scrivere che il dominio è

D: ∀ x∈R
o anche
D=(-∞;+∞)

Il seno iperbolico è una funzione continua in tutto R

Simmetrie

Poiché vale l’uguaglianza f(x)=-f(-x), cioè
ex – e-x=-(e-x – e+x)
allora la funzione seno iperbolico è dispari, cioè simmetrica rispetto all’origine degli assi cartesiani.

Intersezione con gli assi

Si impone come sempre si fa nello studio di funzioni, sinh(x)=0. Moltiplicando subito primo membro e secondo membro per 2, si ottiene:

ex – e-x=0

ex = e-x 

x=-x → 2x=0 → x=0

Quindi abbiamo scoperto che il seno iperbolico di 0 fa 0. sinh(0)=0

Studio del segno e positività

Si impone il sinh(x)>0. Per cui passando alla definizione di esponenziali e moltiplicando tutto per 2 otteniamo:

ex – e-x>0

ex > e-x

x>-x

2x>0

x>0

Quindi la funzione seno iperbolico è positiva per x>0, mentre è negativa per x<0.

Limiti agli estremi

I limiti del seno iperbolico a meno infinito e più infinito sono rispettivamente meno infinito e più infinito.

seno-iperbolico-limiti

Derivata

Così come accadeva con il seno, la derivata del seno iperbolico è pari al coseno iperbolico.

d(sinhx)=coshx

Integrale

Riprendendo ancora l’analogia con il seno, l’integrale del seno iperbolico è pari al coseno iperbolico cambiato di segno.

∫sinh(x)dx=-cosh(x)+k

 

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