Dominio di una funzione esponenziale

Come si trova il dominio di un’esponenziale? E’ vero che è definito in tutto R, oppure ci sono dei casi particolari da prendere in considerazione? Per esempio, come si calcola il dominio di una funzione esponenziale fratta? – Grazie, Mauro.

Risposta

Innanzitutto vediamo che cos’è una funzione esponenziale. Si tratta di una funzione in cui l’incognita x compare all’esponente. La base è invece un numero reale positivo diverso da 1.

dominio-di-una-funzione-esponenziale

Con questa formula abbiamo già praticamente risposto alla prima domanda del nostro studente: il dominio della funzione esponenziale è tutto R, cioè l’insieme dei numeri reali. Proviamo a dare un’occhiata al grafico di questa funzione nei due casi principali.

esponenziale-dominio-grafico

Sia nel caso in cui la base è un numero maggiore di 1 che nel caso in cui la base è compresa tra 0 e 1, il grafico è sempre continuo. Puoi vedere dei salti sulla linea blu ed arancione? Non ci sono punti di discontinuità, per cui il campo di esistenza, ovvero il dominio dell’esponenziale, è tutto R.

Ovviamente tutto cambia se non dobbiamo più calcolare semplicemente il dominio dell’esponenziale ma di una funzione più complessa. Vediamo qualche esempio.

Dominio esponenziale fratta

Senza perderci troppo con la teoria, vediamo subito un esempio pratico.

esponenziale-dominio-fratta-esempio

Determinare il dominio della funzione esponenziale fratta con base e.

Nella lezione sul calcolo dei domini delle funzioni, abbiamo detto che bisogna fare un’analisi preliminare di che cosa potrebbe creare delle discontinuità del dominio. In particolare dicemmo che quando abbiamo logaritmo, radice ad indice pari e fratta, bisogna prestare attenzione. In questo nostro esercizio, abbiamo:

  • funzione esponenziale → non crea problemi visto che il dominio esponenziale è R
  • funzione fratta → il denominatore deve essere diverso da 0.

Per cui riassumendo, deve valere x+3≠0, cioè x≠-3.

Quindi in buona sostanza quando dobbiamo calcolare il dominio di una funzione esponenziale fratta, ciò che conta è il denominatore che deve essere diverso da 0.

Dominio di una funzione esponenziale irrazionale

Che cosa succede invece quando abbiamo una radice? Vediamo come prima un esercizio svolto.

dominio-esponenziale-irrazionale

Calcolare il dominio dell’esponenziale a base e con esponente irrazionale.

Come abbiamo detto in precedenza, facciamo una valutazione preliminare di quello che compare nella funzione da studiare.

  • funzione esponenziale → dominio valido in tutto R;
  • funzione irrazionale (cioè la radice quadrata) → il radicando deve essere maggiore e uguale di 0.

Per cui avremo:

x+4≥0

x≥-4

Conclusioni

Generalmente il dominio delle funzioni esponenziale non crea alcun tipo di problemi durante lo svolgimento degli esercizi. Attenzione però ai casi in cui la funzione presenta, oltre dominio dell’esponenziale, anche altre funzioni che hanno delle limitazioni sul campo di esistenza.

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