Disequazioni goniometriche – come si risolvono? Partiamo dalle elementari…

Le disequazioni goniometriche sono delle disequazioni nelle quali la variabile x compare anche come argomento di una o più funzioni goniometriche. Ecco alcuni esempi di disequazioni trigonometriche:

cosx>0;  sen²x-senx-2<o;
tgx>secx;  1-sen²x<0;
x-cotgx≤0;  x²+x-senx≥0.

Per risolvere le disequazioni goniometriche è necessario determinare tutti i valori dell’incognita per i quali essa è soddisfatta. Si tratta cioè di determinare tutti gli angoli x che verificano la disuguaglianza tra i due membri della disequazione goniometrica stessa.

Valgono gli stessi principi che regolano la risoluzione delle disequazioni algebriche. E’ necessario però tener conto del particolare andamento delle funzioni seno, coseno, tangente, … al fine di determinare gli intervalli che costituiscono le soluzioni della disequazione goniometrica.

Disequazioni goniometriche elementari

disequazioni-goniometriche-elementari

Quelle che hai appena visto sono la forma base più semplice che possa essere trovata negli esercizi. L’obiettivo è sempre ricondursi ad una di queste quattro diseguaglianze elementari. Per ciascuna di queste ci sarà un risultato differente. Vediamo singolarmente i casi appena presentati.

Caso 1

disequazioni-goniometriche-elementari-seno

Immaginiamo di avere la disequazione goniometrica elementare senx>m. Per quanto detto nello studio della funzione seno, quest’ultima esiste solo per valori compresi tra -1 e +1. Questo vuole dire che, per senx>m:

  • se m<-1, la disequazione è sempre verificata, cioè è valida ∀x∈R.
  • se m>+1, la disequazione è impossibile.
  • se -1<m<+1, analizziamo il grafico in figura:

 

Le soluzioni sono date dagli intervalli dei valori dell’arco x per i quali il grafico della funzione si trova sopra il grafico della sinusoide:

disequazioni-trigonometriche-seno

 

Le soluzioni delle disequazioni trigonometriche elementari con il seno sono date dagli intervalli dei valori dell’angolo x per i quali il grafico della sinusoide si trova sopra la retta y=m. Considerando solo l’intervallo che va da 0 a 2π, gli angoli per i quali senx=m sono in figura α e β. Possiamo quindi scrivere le soluzioni della disequazione nel seguente modo:

α+2kπ < x < β+2kπ

Si procede in modo del tutto analogo nel caso si debba risolvere la disequazione goniometrica elementare senx<m (oppure senx≤m). Ricordiamo soltanto che, in questo caso, se m<-1 la disequazione è impossibile. Se m>1 la disequazione è verificata sempre cioè ∀x∈R.

Esempio

Risolviamo la disequazione goniometrica 2senx-1≤0

Abbiamo senx≤1/2

Rappresentiamo graficamente la situazione:

disequazioni-goniometriche-esempio1

Analizzando il grafico si può dedurre che la disequazione goniometriche è verificata per

2kπ < x <π/6+2kπ  ∪ 5/6π+2kπ < x <2π+2kπ

Caso 2

disequazioni-goniometriche-coseno

Immaginiamo di avere cosx>n.

  • Se n<-1, la disequazione è verificata sempre, cioè ∀x∈R.
  • Se n>1, la disequazione è impossibile.
  • Se -1≤n≤+1, analizziamo il grafico della cosinusoide.

disequazioni-goniometriche-coseno-1

Le soluzioni della disequazione goniometrica sono date dagli intervalli dei valori di x per i quali il grafico della funzione y=cosx si trova sopra il grafico della retta y=n. In tali intervalli è infatti verificata la disuguaglianza cosx>n. Chiamati α e β gli angoli, compresi tra 0 e 2π, per i quali il coseno ha valore n, possiamo scrivere le soluzioni della disequazione nel seguente modo:

2kπ ≤ x≤α+2kπ  ∪  β+2kπ<x<2π+2kπ

In modo del tutto analogo si procede per la risoluzione dell’equazione goniometrica elementare cosx<n (oppure cosx≤n); in questo caso, se n<-1 la disequazione è impossibile. Se n>1 la disequazione è verificata ∀x∈R.

Esempio

Risolviamo la disequazione trigonometrica 2cosx+√2≥0

Iniziamo sistemandoci tutti i termini al posto giusto:

cosx≥-√2/2

Rappresentiamo graficamente la funzione coseno e la retta orizzontale y=-√2/2.

esempio-disequazione-goniometrica-coseno

I valori che soddisfano la disequazione goniometrica sono tutti quelli che stanno al di sopra la retta orizzontale disegnata. Per cui possiamo dire che la soluzione dell’esercizio è:

2kπ < x <3/4π+2kπ  ∪ 5/4π+2kπ < x <2π+2kπ

Caso 3

disequazioni-goniometriche-tangente

Analogamente a quanto fatto con i primi due casi, analizziamo tgx>p. Si tracci il grafico della tangente:

disequazioni-goniometriche-tangente-1

Detto α (con 0<α<π, α≠π/2) l’arco per il quale la tangente ha valore p, possiamo scrivere le soluzioni della disequazione goniometrica come segue:

kπ+α< x<π/2+kπ

Dovendo risolvere la disequazione tgx>p con p<0, si dovrà tenere presente che l’angolo α (compreso tra 0 e 180°) per il quale la tangente ha valore p, è maggiore di π/2. Le soluzioni si scriveranno come segue:

kπ+α≤x<π/2+kπ  ∪  α+kπ<x<π+kπ

disequazioni-trigonometriche-tangente

Considerazioni analoghe valgono per la risoluzione delle disequazioni goniometriche elementari con tgx<p (o con il simbolo minore e uguale).

Esempio

Risolviamo la disequazione trigonometrica 3tg²x-2√3tgx+1>0

Si tratta di un polinomio che può essere ridotto a quadrato di binomio. Per cui si ottiene:

(√3tgx-1)²>0

Essendo un quadrato sempre positivo o al limite nullo, la disequazione è soddisfatta per i seguenti valori di tgx.

tgx≠+√3/3

ossia dai seguenti valori dell’angolo x:

x≠π/6+kπ  ∪  x≠π/2+kπ

Caso 4

disequazioni-goniometriche-come-risolvere

Come nei casi precedenti, sia cotgx>q. Analizziamo il grafico in figura:

disequazioni-goniometriche-cotangente

Poiché il codominio della funzione y=cotgx è l’insieme R dei numeri reali, la disequazione cotgx>q è sempre risolvibile.

Detto α l’angolo per il quale la cotangente ha valore q (0<α<π), possiamo scrivere le soluzioni della disequazione goniometrica nel seguente modo:

kπ< x<α+kπ

Considerazioni analoghe valgono per la risoluzione della disequazione cotgx<q (e con il segno minore e uguale).

Esempio

Risolviamo la disequazione trigonometrica cotgx>√3

Rappresentiamo graficamente la traccia dell’esercizio:

disequazioni-goniometriche-cotangente-1

La disequazione è verificata per

kπ<x<π/6+kπ

Un metodo di risoluzione alternativo

Le disequazioni goniometriche elementari possono essere anche risolte con l’ausilio della circonferenza goniometrica, oltre che con il metodo appena presentato. Ad esempio, la disequazione senx≤1/2 che abbiamo trattato nel primo esempio, può essere risolta facendo riferimento alla figura seguente.

metodo-disequazioni-goniometriche

Si inizia prendono quei valori degli angoli per cui il seno vale 1/2. Cioè l’angolo π/6 e 5/6π. Sopra la linea tratteggiata ci sono tutti gli angoli che hanno un seno superiore a 1/2. Sotto la linea tratteggiata ci sono tutti quegli angoli che rispettano la disequazione trigonometrica senx<1/2. Per cui si ottengono le soluzioni:

2kπ < x <π/6+2kπ  ∪ 5/6π+2kπ < x <2π+2kπ

Conclusioni

Abbiamo visto come risolvere le disequazioni goniometriche elementari in due diversi metodi. La scelta dell’uno o dell’altro è soggettiva e, come dimostrato, non cambia il risultato ottenuto. Anche negli esercizi più complessi sarà necessario ricondursi ad una di queste 4 forme base. Sei pronto quindi ora per passare alle disequazioni goniometriche non elementari (CLICK per andare alla lezione).

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