Coordinate Cartesiane e assi cartesiani, esercizi e teoria

Gli assi cartesiani sono la base su cui si costruisce il programma di geometria analitica. In questa lezione vedremo che cosa sono e di conseguenza arriveremo alla definizione di coordinate cartesiane. La parte pratica ci permetterà di individuare un generico punto sugli assi cartesiani attraverso le sue coordinate. Iniziamo subito.

Gli assi cartesiano sono il sistema di riferimento su cui si basa tutta la geometria analitica. Si tratta di un grafico su cui andremo a disegnare il punto, poi l’equazione della retta e tutte le figure che si studiano in questa branca della matematica.

Per introdurre gli assi cartesiani

Innanzitutto cerchiamo di capire che cos’è una retta orientata:

Data una retta r è sempre possibile fissare su di essa un verso di percorrenza, che solitamente viene indicato come verso positivo.

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Definizione di Retta Orientata

Questo significa che fissando un numero sulla retta orientata, andando nel verso della freccia si va verso numeri maggiori. Andando dall’altro senso si va verso numeri minori. Così come puoi vedere in immagine:

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Ecco come sono indicati i numeri sugli assi cartesiani

Come si disegnano gli assi cartesiani?

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Coordinate cartesiane e il punto generico

Consideriamo ora due rette orientate che si intersecano perpendicolarmente nel punto O, detto origine degli assi cartesiani. In questo sistema di riferimento orientato vengono indicate con:

  • l’asse delle ascisse
  • y l’asse delle ordinate

Assi cartesiani e quadranti

Come puoi vedere dalla figura in alto, siamo partiti considerando solo i valori positivi delle ascisse e delle ordinate. In realtà, volendo disegnare gli assi cartesiani completi, andremo a disegnare anche le zone negative.

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Assi cartesiani – i 4 quadranti

Le rette orientate così individuate mi dividono il foglio di lavoro, più in generale possiamo dire che dividono il piano, in 4 aree, chiamate quadranti del piano cartesiano. Partendo dal primo in alto a destra e muovendoci in senso antiorario, abbiamo I quadrante, II quadrante, III quadrante e IV quadrante. Ognuno di questi si caratterizza per avere dei valori, o meglio dei segni differenti per il sistema ascissa e ordinata.

  • Il primo quadrante sugli assi cartesiani è formato interamente da coppie di coordinate cartesiane positive. Qui infatti sia la x che la y sono positive.
    (+ ; +)
  • Sul secondo quadrante invece disegneremo tutti i punti con ascisse negativa e ordinata positiva.
    ( – ; + )
  • Sul terzo quadrante individueremo solo coordinate cartesiane negative, sia le ascisse che le ordinate ( – ; – ).
  • Sul quarto quadrante invece le ascisse saranno positive e le ordinate negative ( + ; – )

Coordinate cartesiane di un punto

Sul grafico in alto abbiamo individuato un generico punto P, le cui coordinate si indicano tra parentesi con un punto e virgola. La prima è la coordinata l‘ascissa x, cioè Px, mentre la seconda coordinata è l’ordinata y, cioè Py.

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Coordinate Cartesiane di un punto

Per disegnare un punto sugli assi cartesiani in geometria analitica, sono sufficienti quindi due coordinate cartesiane, la x e la y, quindi l’ascissa e l’ordinata. La prima la posizioneremo sulla retta orizzontale, cioè sull’asse delle ascisse, mentre la seconda coordinata cartesiana la individueremo sulla retta verticale, cioè sull’asse delle ordinate.

Ovviamente si da per scontato che conosciamo il concetto di numeri relativi e quindi sappiamo benissimo la differenza tra numeri positivi o negativi. In caso contrario ti consigliamo di andare riguardarti la lezione sui numeri relativi.

Esercizi sugli assi cartesiani

Disegnare il punto partendo dalle coordinate cartesiane

Come esercizio di questa breve lezione iniziale proveremo a posizionare alcuni punti sugli assi cartesiani:

A(+1,-3)

Come detto in precedenza, in base al punto, consideriamo le due coordinate cartesiane.

Ascissa= +1
Ordinata= -3

Quindi mi sposto di “un passo” a destra e tre verso il basso. Dato infatti che la y è negativa, invece di andare verso l’alto sulla retta orientata delle ordinate, mi muoverò verso il basso. Ottengo così il punto come in figura:

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Il punto A sugli assi cartesiani

Qualsiasi siano i numeri delle ascisse e delle ordinate del punto, che siano interi, numeri relativi, radicali, eccetera, il concetto non cambia. L’ascissa va collocata sull’asse orizzontale, l’ordinata sull’asse verticale.

Piano cartesiano, esercizi da svolgere

Puoi provare tu stesso a disegnare i seguenti punti:

B (-3;-2)      C (+5;0)      D (-1;+1)      E (+3;-3)

Come sempre restiamo a tua disposizione per dubbi, per avere gli esercizi svolti o per qualsiasi chiarimento. Ti basta semplicemente inviarci la tua domanda usando il modulo contattaci.

Dopo questa prima lezione introduttiva sugli assi cartesiani e sulle coordinate cartesiane di geometria analitica, possiamo entrare nel cuore del programma e partire con le prime formule: distanza tra due punti e punto medio su un segmento.

Appunti a cura di Paolo Calicchio

Sono laureato in ingegneria con il massimo dei voti. Insegno matematica da oltre 15 anni e i miei studenti apprezzano tantissimo la chiarezza delle mie lezioni, sempre molto pratiche e spiegate in maniera un po' alternativa. Esercizimatematica nasce dalla voglia di condividere il mio metodo in matematica con tutti gli studenti d'Italia.
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