La funzione esponenziale è una funzione così definita perché ha l’incognita x che compare all’interno dell’esponente. In questa lezione vedremo uno studio completo delle funzioni esponenziali, passando dalla definizione allo studio del segno fino al grafico esponenziale.
Definizione
Dato il numero reale positivo a ed il numero x variabile nel campo dei numeri reali R, se ad ogni elemento di x associamo l’elemento a elevato alla x, otteniamo la corrispondenza:
Cerchiamo ora di dare una definizione di funzione esponenziale più semplice. Ci troviamo di fronte a funzioni esponenziali nel momento in cui ho una potenza e all’esponente compare la x.
Differenza tra potenze ed esponenziali
La domanda che si potrebbe porre è: che senso ha studiare gli esponenziali quando possiamo studiare le potenze? L’esponenziale è in realtà molto diverso e anche il suo grafico presenta notevoli differenze.
Mentre il grafico di una potenza è una parabola (nel caso ad esempio di potenza ad indice due), con gli esponenziali ci troveremo una curva diversa. La sostanziale differenza tra potenza ed esponenziale sta nel fatto che nel primo caso la x sta alla base, nel secondo caso l’incognita compare invece all’esponente.
Dominio – campo di esistenza
La funzione esponenziale ha un dominio valido su tutto R. Questo significa che non esistono punti di discontinuità sul grafico, in parole povere la funzione può spostarsi da meno infinito a più infinito senza problemi e senza subire alcuna interruzione.
Approfondimenti: come si trova il dominio di una funzione esponenziale?
Vedrai sul grafico della funzione esponenziale che non si scende mai al di sotto dell’asse x. Questo significa che la funzione è sempre positiva, per cui il codominio è R+, cioè per ogni x appartenente all’insieme dei numeri reali positivi.
Studio del segno – Positività
Con lo studio del segno andiamo ad analizzare dove e quando la funzione esponenziale è positiva o negativa, cioè quando si trova sopra o sotto l’asse delle x. Per questa operazione, come in ogni studio di funzione, è necessario verificare la disequazione f(x)>0.
Per definizione la funzione esponenziale è sempre positiva, cioè si trova sempre al di sopra dell’asse delle x, qualsiasi sia la base.
Grafico della funzione esponenziale
Il grafico ha un andamento differente a seconda di quanto vale la base. Se infatti la base è un numero maggiore di 1 ho una funzione sempre crescente, se il suo valore è compreso tra 0 e 1 il suo andamento è sempre decrescente. Se infine a=1 allora ho una retta orizzontale. Vediamo i tre grafici:
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a>1 – base maggiore di 1
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0<a<1 – base compresa tra 0 e 1
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a=1 – retta orizzontale
Nel caso in cui l’esponente sia uguale a 1, la funzione esponenziale y=a^x coincide con y=1, cioè una retta orizzontale.
Considerazioni e osservazioni sul grafico esponenziale
Possiamo così fare alcune considerazioni sul grafico della funzione esponenziale: in particolare notiamo che quando a>1 allora la curva è crescente, quando a è compresa tra 0 e 1 allora la curva disegnata è decrescente.
Come disegnare le funzioni esponenziali?
Come si disegnano le funzioni esponenziali? Mentre per disegnare una retta partendo dalla sua equazione avevamo detto che erano sufficienti due punti, in questo caso ne serve qualcuno in più. Con 3 punti si disegna l’equazione di una parabola, per cui è necessario disegnarne almeno 4 o 5.
Vediamo subito un esempio facile per chiarire il concetto espresso fino ad ora:
Rappresentiamo graficamente, per punti, la seguente funzione esponenziale:
y=3^x
Con questo piccolo esempio di grafico di esponenziale, chiudiamo la lezione invitandoti come sempre a contattarci in caso di problemi con la parte teorica o con i tuoi compiti a casa.