Limite destro e sinistro di una funzione

Il calcolo del limite destro e sinistro di una funzione si rende necessario qualora si voglia studiare il comportamento di una curva nell’intorno destro o sinistro di un suo punto.

In particolare il limite sinistro è un limite in cui i valori tendono da sinistra al punto x0. Il limite destro è un limite in cui i valori tendono da destra al punto x0.

Vediamo per√≤ di essere pi√Ļ chiari e di spiegare in maniera pi√Ļ semplice ma precisa cosa sono il limite destro e sinistro di una funzione.

Cosa sono il limite destro e sinistro?

Capiter√† pi√Ļ volte di dover studiare il comportamento di una funzione nell’intorno di un punto x0, detto punto di accumulazione. Pu√≤ essere interessante capire cosa succede un po’ prima o un po’ dopo che la x raggiunga questo punto.

Per questa ragione si studiano il limite destro o sinistra, a seconda che ci si concentri sull’intorno destro o sinistro del punto x0.

limite-destro-e-sinistro

Detto in maniera pi√Ļ semplice: se stiamo studiando una curva, a quale valore tende la y, se la x tende

  • da sinistra a x0, cio√® ha dei valori che aumentano sempre pi√Ļ fino ad arrivare a x0? (LIMITE SINISTRO)
  • da destra a x0, cio√® ha dei valori che diminuiscono sempre pi√Ļ fino ad arrivare a x0? (LIMITE DESTRO)

Vedremo anche degli esempi in basso in cui studieremo proprio il comportamento di una funzione analizzandone limite destro e sinistro. Prima vediamo le definizioni…

Definizione di limite destro e sinistro

Limite destro

Data una funzione reale y=f(x) con un punto di accumulazione x0, diremo che il valore l √® il limite destro della funzione f(x) e si scrive come:

limite-destro-di-una-funzione

se, fissato un valore őĶ positivo piccolo a piacere, esiste un őī positivo funzione di őĶ , che rispetta la condizione x0< x< x0+őī e risulta |f(x)-l|<őĶ. Per cui possiamo scrivere.

limite-destro

Suggerimenti utili

  • Da notare come scrivere x0< x< x0+őī faccia proprio riferimento all’intorno destro di x0.
  • Non confondere il limite destro e sinistro di una funzione. Il destro in questo caso ha vicino il punto di accumulazione il simbolo + (pi√Ļ).

Limite sinistro

Data una funzione reale f(x), con un punto di accumulazione x0 appartenente al dominio della funzione, diciamo che essa tende a da sinistra e scriviamo:

limite-sinistro

se fissato un se, fissato un valore őĶ positivo piccolo a piacere, esiste un őī positivo funzione di őĶ , che rispetta la condizione x0-őī< x< x0 e risulta |f(x)-l|<őĶ. Per cui possiamo scrivere.

definizione-limite-destro-e-sinistro

Suggerimenti utili

  • In questo caso l’intorno sinistro √® rappresentato da  x0-őī< x< x0 .
  • Per distinguere il limite destro e sinistro, in questo caso si usa il simbolo (meno) accanto al punto di accumulazione.

Limite destro e sinistro infinito

Le definizioni che abbiamo analizzato nei casi precedenti riguardano il caso di limite finito che tende a un valore finito.

Sappiamo che esistono altre tre casi da prendere in considerazione. Puoi trovare i casi generali nella lezione sulla definizione di limite. Per arrivare ai casi con i limiti infiniti baster√† fare dei piccoli aggiustamenti e considerare, per il limite destro e sinistro, rispettivamente l’intorno destro e sinistro di x0.

Calcolo limite destro e sinistro esercizi svolti

Eseguire il calcolo del limite destro e sinistro, tenendo presente le definizioni viste sopra.

Esercizio svolto 1

calcolo-limite-destro-e-sinistro

Svolgimento

Siamo nel caso di limite finito per x tendente a valore finito da sinistra. Come facciamo a dirlo? Dal segno – (meno) che compare sul punto di accumulazione.

limite-sinistro-e-destro-esercizi-svolti

Analizziamo l’ultima diseguaglianza. Questa equivale ad un sistema di disequazioni di primo grado. Questo perch√© le diseguaglianze devono essere verificate contemporaneamente.

limite-destro-sinistro

Una volta impostato il sistema e scritte le condizioni di esistenza delle disequazioni irrazionali, passiamo al loro svolgimento.

La seconda √® sempre verificata a patto che siano rispettate le condizioni di esistenza, cio√® per x‚ąą(-‚ąě;0] U [+1;+‚ąě)

svolgimento-esercizio-limite-sinistro

La soluzione del sistema che verifica la definizione è:

limite-destro-sinistro-soluzione

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