Categoria: Definizione di limite

L’applicazione e la definizione di limite sono determinanti nello studio di funzione per capire il comportamento di una curva all’avvicinarsi di un punto. Per essere pi√Ļ precisi i limiti in analisi matematica permettono di studiare l’andamento di una funzione nell’intorno di un punto o all’infinito.

In questa lezione vediamo un riepilogo sulle definizioni sui limiti, argomento importantissimo per gli studenti anche in vista degli esami di stato.

Il concetto di limite di una funzione

Sia data l’equazione della retta y=2x+3. Studiamo il comportamento della variabile y quando x “si avvicina” al valore 2.

limite-di-una-funzione

Creiamo una tabella in cui attribuiamo ad x valori che si avvicinano sempre pi√Ļ a 2.

limite-funzioni

Notiamo che per valori di x sempre pi√Ļ prossimi a 2, i corrispondenti valori di y si avvicinano sempre pi√Ļ a 7.

Ciò significa che la differenza fra 7 ed il valore trovato per y, per scelte opportune di x prossime a 2, può essere reso piccolo a piacere.

In simboli scriviamo che:

esempio-di-limite-finito

Si lette “limite per x tendente a 2 di 2x+3 uguale a 7“.

Limiti e definizioni: ma quante sono?

Come puoi notare alla base del limite c’√® un valore a cui tende la x che pu√≤ essere finito (cio√® un numero) oppure infinito (‚ąě). Allo stesso modo il risultato del limite pu√≤ essere finito o infinito.

Per questa ragione, nonostante il concetto sia sostanzialmente lo stesso, non esiste un’unica definizione di limite di funzione, ma ce ne sono quattro. Vediamole nel dettaglio…

Definizione di limite finito con x tendente a un valore finito

La prima definizione riguarda il limite finito di una funzione per x tendente ad un valore finito.

definizione-di-limite

Per definizione, il limite di una funzione f(x) vale l, per x tendente a x0 se vale:

definizione-limite

In linguaggio formale questo può essere scritto come:

definizione-di-limite-matematica

Per ogni numero piccolo¬†őĶ>0, esiste un numero positivo¬†őī tale che la differenza in valore assoluto tra x e x0 √® minore di¬†¬†őī, cos√¨ come la differenza tra y e l √® minore di¬†őĶ.

Vediamo sul grafico cosa significa…

concetto-di-limite

Non ti è ancora chiaro il concetto di limite? Man mano che la x si avvicina al valore 2 (quindi quando x tende a 2), la y si avvicina a 7.

La definizione di limite, quella difficile con simboli matematici, può essere spiegata guardando il grafico.

Considerando due numeri¬†őĶ e¬†őī (positivi per semplicit√†) piccoli a piacere, prendendo la differenza x-x0 in valore assoluto, questa √® minore di¬†őī. Nel grafico x0=2.¬†Allo stesso modo, la differenza y-l sar√† minore di¬†őĶ,¬† dove nel grafico l=7.

Attenzione:¬†come hai visto dalla definizione, il limite riguarda l’intorno del punto x0, mentre non interessa conoscere il valore f(x0), cio√® il valore della funzione in quel punto. Capiter√† spesso che tale valore pu√≤ anche non esistere.

Definizione di limite infinito di una funzione per x tendente a valore finito

Diciamo che f(x) ha per limite +‚ąě per x tendente a x0, e scriviamo:

definizione-di-limite-infinito

preso a piacere un numero M>0 esiste in corrispondenza un¬†őī>0, tale che preso x appartenente al dominio della funzione f(x), diverso da x0, e tale che:

Definizione limite infinito

Possiamo scrivere la definizione di limite infinito anche in linguaggio formale.

limiti-definizioni

definizione-di-limite-di-una-funzione

Dal grafico si pu√≤ dedurre il concetto di limite infinito. Dato un valore M generico (non importa quanto grande), i valori di x compresi nell’intorno di x0, avranno sempre un’ordinata maggiore di M.

Definizione di limite finito per x tendente all’infinito

Diciamo che la funzione f(x) ha limite l per x tendente a¬†+‚ąě e scriviamo:

definizioni-di-limiti-di-una-funzione

Preso un¬†őī>0, esiste in corrispondenza un numero H>0, tale che se:

limite-finito-definizione

Possiamo scrivere in linguaggio formale matematico:

cosa-sono-i-limiti

Definizione di limite infinito con x che tende a infinito

Si dice che la funzione f(x) tende all’infinito per x tendente all’infinito e si scrive:

definizione-generale-di-limite

se preso un M>0, esiste in corrispondenza un H>0, funzione di M, tale che:

definizione-di-limite-matematico

Analizzando la definizione topologica di limite, possiamo scrivere:

definizione-matematica-limite

Limite destro e sinistro di una funzione

Il calcolo del limite destro e sinistro di una funzione si rende necessario qualora si voglia studiare il comportamento di una curva nell’intorno destro o sinistro di un suo …