Disequazioni goniometriche lineari

Dopo aver visto come si risolvono le disequazioni goniometriche elementari, vediamo ora come si applicano le regole viste quando ci sono delle disequazioni di primo grado con seno e coseno.

Vengono definite anche disequazioni goniometriche lineari proprio perch√© tutte le funzioni in cui compare l’incognita x sono di grado 1. Vedremo, nelle prossime lezioni, che ci sono casi particolari con disequazioni di secondo grado con seno e coseno o addirittura di grado superiore.

Per risolvere correttamente una disequazione goniometrica lineare è fondamentale osservare se nella traccia è presente il termine noto, ovvero una costante, un numero semplice. Possiamo infatti distinguere due diversi casi.

1) Equazioni goniometriche lineari con il termine noto

Per risolvere questa prima tipologia ricordiamoci della relazione fondamentale della trigonometria (seno al quadrato pi√Ļ coseno al quadrato uguale a 1) per impostare un sistema con la traccia.

Vediamo praticamente come si risolve con un esercizio svolto.

Esempio di Metodo Grafico

disequazioni-goniometriche-lineari-1

Sostituiamo Y al posto di senx e X al posto di cosx e ci aggiungiamo la seconda equazione (a sistema) dalla relazione fondamentale.

svolgimento-disequazione-goniometrica-lineare

Abbiamo cos√¨ ottenuto un sistema in cui al secondo rigo abbiamo l’equazione della circonferenza goniometrica, al primo rigo abbiamo l’equazione della retta y=x+1.

Il fatto che nella retta ci sia un maggiore, significa letteralmente “prendi tutti i valori che si trovano sopra la retta” e allo stesso tempo appartiene alla circonferenza.

disequazioni-goniometriche-lineari-metodo-grafico

Quindi andiamo a considerare l’intervallo di valori nell’area indicata, che vanno cio√® da 90¬į a 180¬į. La soluzione dell’esercizio √® quindi:

ŌÄ/2‚ȧx‚ȧŌÄ

Questa per√≤ non √® ancora la soluzione finale. Infatti le funzioni goniometriche sono periodiche, cio√® si ripetono ciclicamente ogni 360¬į (cio√® ogni 2kŌÄ). Possiamo quindi scrivere:

ŌÄ/2+2kŌĂȧx‚ȧŌÄ+2kŌÄ

CASO 2 – disequazioni goniometriche lineari senza il termine noto

Mentre per le equazioni potevamo semplicemente dividere tutto per seno e coseno, in questo caso non è possibile visto che il segno delle funzioni non resta costante e andrebbe a falsare i risultati.

Anche in questo caso possiamo applicare il metodo grafico. Vediamo con un esempio:

disequazioni-goniometriche-lineari-b

esercizi-disequazioni-goniometriche-lineari-1

Quindi dovendo prendere tutti i valori che sono sopra la retta bisettrice del primo e terzo quadrante, andr√≤ a considerare tutti i valori evidenziati nell’area blu, quindi che vanno da 45¬į a 180¬į.

Posso così scrivere che la soluzione della disequazione lineare goniometrica è:

ŌÄ/4‚ȧx‚ȧ5/4ŌÄ

Andando a considerare che stiamo trattando funzioni periodiche, posso aggiungere il +2kŌÄ.

ŌÄ/4+2kŌĂȧx‚ȧ5/4ŌÄ+2kŌÄ

Esercizi sulle disequazioni goniometriche lineari

Esercizio 1

Proviamo ora a risolvere un esercizio un po’ pi√Ļ complesso in cui ci sono anche di mezzo i radicali.

disequazioni-goniometriche-esercizio-2

Risolviamo come prima con il metodo grafico. Per cui impostiamo il sistema:

Risolvere disequazioni goniometriche

Possiamo ora disegnare il grafico con la retta e l’equazione. Per conoscere i valori di riferimento √® necessario trovare i punti di intersezione delle due figure. In tal caso non √® neanche necessario perch√© si riconosce subito che si tratta di una retta inclinata di 60¬į rispetto all’orizzontale.

disequazione-goniometrica-lineare-a

Per cui la soluzione del problema è:

ŌÄ/3+2kŌĂȧx‚ȧ4/3ŌÄ+2kŌÄ

Esercizio 2

esercizio-svolto-disequazione-lineare-seno

Dalla traccia vediamo che si tratta di una disequazione con seno e coseno di tipo lineare, che ha bisogno di qualche piccola trasformazione per iniziare.

risolvi-disequazioni-goniometriche-lineari

A questo punto siamo di nuovo pronti per applicare il metodo grafico:

risolvi-disequazione-goniometrica-lineare

grafico-disequazione-goniometrica-lineare

Visto che c’√® un Y con il simbolo maggiore, allora si prendono tutti i valori che stanno al di sopra della retta. Per conoscere con precisione quali sono i punti di intersezione tra retta e circonferenza, si mettono a sistema le due figure.

disequazioni-goniometriche-lineari-con-grafico

Poich√© la Y √® il coseno e ci esce che il coseno √® 1/2, allora l’angolo √® 30¬į. Per cui seguendo il grafico visto sopra, possiamo scrivere che le soluzioni sono:

ŌÄ/6+2kŌĂȧx‚ȧ7/6ŌÄ+2kŌÄ

Conclusioni

Abbiamo visto come le disequazioni goniometriche lineari possano essere risolte abbastanza semplicemente sfruttando il metodo grafico.

Sugli assi cartesiani ci si ritrover√† sempre una retta e una circonferenza, per cui basta capire se l’intervallo delle soluzioni √® sopra o sotto la retta stessa. Se hai dubbi o domande, lascia un commento in basso. Se la lezione ti √® stata utile, lascia un feedback positivo nei commenti, ci aiuterai a crescere e a fornirti sempre lezioni gratuite.

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