Uno dei nostri studenti ci ha posto la domanda: qual è la derivata di x^2? Come posso calcolare la derivata prima della funzione x al quadrato? E’ possibile avere anche una dimostrazione?
SOLUZIONE
La derivata di x^2 è una delle più semplici da calcolare. Data la funzione f(x)=x^2, allora vale:
Perché esce questo risultato? Facendo riferimento alla tabella delle derivate fondamentali, utilizziamo la regola della derivata di una potenza. Cioè data una funzione f(x)=x^n, allora:
In questo caso n=2, per cui:
Derivata di x^2 – dimostrazione
Il risultato si può facilmente dimostrare applicando la definizione di derivata, cioè calcolando il limite del rapporto incrementale.
A questo punto risolviamo il quadrato di binomio (x+h)^2.
Lo stesso metodo può essere utilizzato anche per il calcolo della derivata di x^3. L’unica cosa che cambierà sarà che, nella dimostrazione, applicheremo il cubo di binomio invece del quadrato, ma arriveremo ad una soluzione analoga.
Conclusione
In questa lezione abbiamo capito e dimostrato quanto vale la derivata di x^2. Ogni volta che ti troverai un esercizio con la derivata prima della funzione f(x)=x al quadrato, puoi scrivere direttamente come soluzione 2x.
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