Dodecagono e dodecagono regolare – formule ed esercizi

Il dodecagono è un poligono formato da 12 lati e 12 angoli. Il dodecagono regolare, invece, è un poligono formato da 12 lati uguali e 12 angoli uguali.

In questa lezione vedremo quali sono le proprietà e le formule del dodecagono, una figura geometrica che si studia poco nelle scuole ma che può essere utile conoscere. Troverai anche il tutorial su come si fa la costruzione del dodecagono e nell’ultima parte, infine, troverai degli esercizi svolti e commentati.

Che cos’è il dodecagono?

Molti studenti si confondono con i nomi delle figure geometriche piane, e ci chiedono “Qual è il dodecagono? Come faccio a ricordarmelo e a distinguerlo dagli altri poligoni?”

Etimologia e significato

Il termine “dodecagono” deriva dal greco:

  • dodeca = significa dodici
  • gonio = significa angolo

Definizione

In base a quanto abbiamo fin ora detto possiamo dire che il dodecagono è quella figura geometrica piana composta da 12 angoli.

dodecagono-regolare

La definizione alternativa è anche:

il dodecagono è il poligono formato da 12 lati

Si parla invece di dodecagono regolare, facendo riferimento a quel particolare tipo di poligono regolare composto da 12 lati (e quindi 12 angoli) tutti uguali.

Caratteristiche e proprietà

In un poligono di 12 lati, la somma degli angoli interni è pari a:

S = 180 · (N-2) = 180 · 10 = 1.800

Poiché in questo poligono ci sono 12 angoli, ciascuno di essi sarà:

α = S : 12 = 1.800 : 12 = 150°

Proprietà 1: ogni angolo del dodecagono regolare misura 150°

Proprietà 2: l’apotema coincide con il raggio della circonferenza circoscritta

Proprietà 3: disegnando tutti i raggi (come fatto in figura) si formano tanti triangoli isosceli. Per capire quanto valgono i suoi angoli basti tener presente che l’angolo al centro è pari a 360°:12= 30°. Gli angoli alla base sono pari a (180-30):2=75°
dodecagono-proprieta

Formule del dodecagono

Calcolo del perimetro p

Dato il lato L, il perimetro p si calcola semplicemente moltiplicando il lato per 12.

p = L × 12

Calcolo dell’area A

Se è noto l’apotema, allora la formula da usare è:

area-dodecagono-noto-apotema

Tra pochissimo ti accorgerai che è possibile calcolare l’area anche conoscendo la misura del lato e di una costante d’area φ.

Numero fisso del dodecagono f

Il numero fisso è una costante (cioè un numero) che cambia a seconda del poligono regolare a cui si riferisce. Nel dodecagono si calcola come:

f = 1,866

Poiché il numero fisso di tutti i dodecagoni regolari è sempre 1,866, possiamo usare questa costante per calcolare l’apotema noto il lato.

Calcolo apotema a

L’apotema del dodecagono regolare è pari al prodotto del lato L per il numero fisso f.

a = 1,866 · L

Costante d’area φ

La costante d’area è un numero che resta sempre uguale in qualsiasi tipo di dodecagono regolare. Il suo valore è:

φ = 11,196

Avendo la costante d’area, è possibile moltiplicarla per il lato al quadrato per ottenere la misura dell’area.

Area del dodecagono noto il lato

L’area del dodecagono regolare si può calcolare moltiplicando il lato al quadrato per la costante d’area.

A=L² · φ

Costruzione del dodecagono dato il lato

    1. Inizia disegnando il segmento AB che sarà il lato del dodecagono regolare
    2. Disegna l’asse del segmento AB (la retta che cade perpendicolarmente sul punto medio di AB)
  1. Con il compasso, fai centro in A (con raggio AB) e disegni una circonferenza. Con la stessa apertura fai centro in B e disegna una seconda circonferenza. Ottieni sull’asse il nuovo punto P.
    costruzione-dodecagono-1
  2. Ora fai centro in P, apertura PA e trovi il punto O, che sarà il centro del dodecagono.dodecagono-costruzione-2
  3. A questo punto punta il compasso in O, apertura OA, e disegna il cerchio. Sarà la circonferenza inscritta al dodecagono.
    dodecagono-costruzione-3
  4. Ora non ci resta che costruire tutti i vertici del dodecagono. Si punta in B, apertura AB e si ottiene C. Con la stessa apertura, punto in C ed ottengo D. Punto in D per avere E, eccetera …
    costruzione-dodecagono-regolare

Esercizio

Dato un dodecagono regolare di lato pari a 10 cm. Calcolare perimetro ed area.

Ricordiamo innanzitutto le costanti:

  • numero fisso dodecagono f = 1,866
  • costante d’area φ = 11,196

Calcoliamo il perimetro semplicemente moltiplicando il lato per 12 essendo un poligono regolare.

P = 10 cm · 12 = 120 cm

Per l’area possiamo utilizzare la costante φ.

A = φ ·  L² = 11,196 · 10²  = 1119,6 cm² .

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