Asintoto obliquo: definizione, formule ed esercizi svolti

L’asintoto obliquo √® una retta che indica l’andamento di una funzione ai suoi estremi. Per il calcolo degli asintoti obliqui √® necessario che siano verificate tre condizioni, semplici ma indispensabili.

In questa lezione vedremo tutto quello che c’√® da sapere sul calcolo dell’asintoto obliquo, illustrandone non solo la forma, ma anche i grafici che si ottengono attraverso lo studio dei limiti che ne consegue. Troverai nella seconda parte della pagina alcuni esempi ed esercizi svolti con i casi pi√Ļ frequenti che si incontrano nello studio di funzione.

Calcolo asintoto obliquo

Immaginiamo una funzione f(x) definita in un intervallo illimitato. Questo significa che dallo studio del dominio della funzione¬†non vengono esclusi pi√Ļ infinito e meno infinito. Allora l’equazione della retta y=mx+q¬†rappresenta un asintoto obliquo se sono verificate tutte le seguenti condizioni.

Condizione 1

asintoto-obliquo

Il limite della funzione, per x che tende a infinito, deve essere pari a infinito.

Questa condizione esclude per definizione la presenza di un asintoto orizzontale, visto lo stesso limite avrebbe dovuto portare ad un valore finito. Nel calcolo degli asintoti obliqui invece è fondamentale che i limiti, per x che tende a infinito, siano infinito.

Se questa prima condizione non risulta verificata, è inutile verificare le altre due. Abbiamo infatti già la certezza che non esiste asintoto obliquo.

Condizione 2

asintoti-obliqui

Il limite, per x che tende a infinito, della funzione intera fratto x, è pari ad un numero finito che indichiamo con la lettera m.

Se la condizione 2 risulta essere soddisfatta, allora possiamo verificare la terza e ultima condizione. Nel caso in cui invece il limite non dovesse esistere o se il limite √® infinito, allora non esiste asintoto obliquo. Quella che abbiamo indicato con la lettera “m” sar√† il coefficiente angolare della retta asintotica obliqua.

Condizione 3

calcolo-asintoto-obliquo

Il limite per x che tende a infinito della funzione a cui si sottrae “m¬∑x” √® un numero finito e viene indicato con la lettera q.

Se il limite non dovesse esistere o dovesse essere infinito, allora possiamo scrivere che non esiste asintoto obliquo. In caso contrario abbiamo verificato le tre condizioni e ricavato i coefficienti m e q della retta. Possiamo quindi scrivere che:

Formula asintoto obliquo

Asintoti obliqui destro e sinistro

Nella prima condizione abbiamo verificato che il limite della funzione per x che tende a infinito fosse pari a infinito. Se la condizione vale sia per x‚Üí+‚ąě che per¬†x‚Üí-‚ąě , allora bisogna calcolare i limiti delle condizioni 2 e 3 anche per¬†x‚Üí-‚ąě, perch√© potrebbero esserci due asintoti obliqui differenti.

Grafico di un asintoto obliquocome-trovare-asintoto-obliquo

La funzione f(x), man mano che la sua ascissa procede verso infinito, si avvicina sempre di pi√Ļ alla retta asintoto obliquo.

OSSERVAZIONE: In questo grafico abbiamo ipotizzato che la funzione, prima di tendere a infinito, venisse dal basso. In realt√† con il solo calcolo dell’asintoto obliquo non possiamo dirlo. Per poter sapere con certezza l’andamento della curva √® necessario studiarne il dominio, la studio del segno e le intersezioni con gli assi.

Esempio

Trovare gli asintoti obliqui, se esistono, della seguente funzione.

trovare-asintoti-obliqui

Svolgimento

Per verificare il calcolo dell’asintoto obliquo vanno verificate le tre condizioni. Partiamo dalla prima: limite per x che tende a infinito della funzione. Se il risultato √® infinito, allora possiamo proseguire.

asintoti-obliqui-di-una-funzione

Resta quindi verificata la prima condizione. Analizziamo le altre due.

formula-asintoto-obliquo

m=1

Anche la seconda condizione √® verificata, procediamo quindi con l’ultima.

asintoti-obliqui-calcolo

q=0

Andando a riepilogare i dati ottenuti nell’esercizio, m=1 e q=0, per cui la retta y=mx+q diventa:

y=x ‚Üí asintoto verticale

grafico-asintoto-verticale

Osservazioni

Come puoi vedere, nel grafico dell’esercizio precedente √® stata disegnata la curva anche in corrispondenza di meno infinito. Prova a calcolare i limiti nel caso in cui x tende a meno infinito. Vedrai che uscir√† la stessa identica retta.

Puoi anche notare che il grafico pi√Ļ probabile, con le informazioni ricevute con il calcolo dell’asintoto obliquo, tende alla retta y=x sia dall’alto che dal basso. Per scoprirne il comportamento √® necessario calcolare il dominio della funzione, studio del segno, …

Conclusioni

In questa lezione abbiamo visto come non esista un’unica formula per l’asintoto obliquo, ma ci siano piuttosto 3 condizioni da soddisfare. Per risolvere gli esercizi senza commettere errori, procedi dalla prima condizioni e verificale una alla volta. Ne basta una che non sia verificata per cui il calcolo degli asintoti obliqui pu√≤ considerarsi concluso.

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