Calcolare la distanza tra due punti

E’ impossibile affrontare il programma di geometria senza saper calcolare la distanza tra due punti. Nella lezione vedremo 3 diversi casi: la distanza tra due punti aventi stessa ascissa, distanza tra due punti aventi stessa ordinata e la formula generica per il calcolo.


Gli argomenti della lezione

Definizione di segmento

Distanza tra due punti con la stessa ascissa

Distanza tra due punti con la stessa ordinata

Formula generica

Esercizi svolti

Esercizi da risolvere


 Definizione di segmento

Prima di passare alla formula per il calcolo della distanza tra due punti è necessario introdurre il concetto di segmento.

Un segmento è una parte di retta compresa tra due punti detti estremi.

Si tratta quindi di una distanza, cioè di una grandezza assoluta che non può presentarsi in forma negativa. Dimentichiamoci, per il risultati finale, quanto abbiamo appreso dalle operazioni con i numeri relativi. Ora si ragiona solo con i segni positivi.

Perchè? Provate ad immaginare di dover dar delle indicazioni ad un passante. Avrebbe senso dire: “per la strada che lei cerca mancano -3 km?”.

Ciò ci porta alla prima vera ed importante affermazione. Se io devo calcolare la distanza tra due punti nel piano cartesiano, A e B generici, posso farlo sia partendo da A che da B. Questo significa che la lunghezza del segmento AB è uguale alla lunghezza del segmento BA.

distanza-tra-due-punti
Distanza tra due punti generici

Calcolare la distanza tra due punti aventi stessa ascissa

Immaginiamo di avere i due punti:

A(x_A;y_a)B(x_B;y_B) dove le ascisse sono tra loro uguali

La formula per il calcolo della della distanza tra due punti sarà:

AB=y_B-y_A

E’ sufficiente cioè fare la differenza tra le ordinate. Non è importante quale io consideri A e quale B. Il risultato sarà lo stesso.

Distanza tra due punti aventi stessa ordinata

Consideriamo ora i due punti

A(x_A;y_a)B(x_B;y_B) dove le ordinate sono tra loro uguali.

La formula per calcolare la distanza tra due punti aventi stessa ordinata è:

AB=x_B-x_A

E’ sufficiente cioè fare la differenza tra le ascisse. Anche in questo caso non importa quale punto sia nella formula A e quale B, il risultato sarà lo stesso.

Formula per la distanza tra 2 punti

A(x_A;y_a)B(x_B;y_B)

E’ il caso che più generalmente ci troveremo ad affrontare. I due punti A e B questa volta non hanno nulla di simile, nè le ascisse nè le ordinate. La formula per la distanza tra 2 punti diventa quindi:

AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}

La formula per la distanza tra due punti è particolarmente semplice. Basta fissare i due punti dati dalla traccia come A e B e sostituire le rispettive coordinate nella formula vista. SI otterrà un numero, non meravigliamoci se sotto radice, che sarà la lunghezza del segmento.

Distanza tra due punti, esercizi svolti

Esercizio 1

Calcoliamo la distanza tra due punti nel piano cartesiano della seguente coppia: A(1,2)\\\\ B\left ( 1,-\frac{3}{2} \right )

Poiché i due punti hanno la stessa ascissa (x=1), allora posso applicare la formula per calcolare la distanza tra due punti aventi stessa ascissa.

AB=y_B-y_A=2-\left(-\frac{3}{2}\right)=2+\frac{3}{2}=\frac{4+3}{2}=+\frac{7}{2}

Esercizio 2:

Proviamo ora a calcolare la distanza tra i due punti nel piano cartesiano:

E(-1,+1)\\F(+2,+3)

Non avendo alcuna coordinata uguale, devo applicare la generica formula per il calcolare la distanza tra due punti. Per cui posso scrivere:

AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}

EF=\sqrt{(-1-2)^2+(+1-3)^2}=\sqrt{(-3)^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}

Esercizi da risolvere

Calcolare la distanza tra le seguenti coppie di punti:

A(-1,+2)\\B(-1,-4)

C(+5,+4)\\D(\sqrt{2},+4)

E\left(+\frac{1}{2},+1\right)\\\\F\left(+2,+\frac{3}{2}\right)

Si tratta di un argomento estremamente semplice per cui non è necessario dilungarsi con tanti esercizi. Si può passare direttamente al calcolo del punto medio tra due punti.

Per dubbi o chiarimenti restiamo sempre a disposizione, puoi scriverci direttamente al link contattaci.

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