Asintoto verticale – definizione, formula ed esempi

L’asintoto verticale √® una retta verticale che indica l’andamento tendenziale della funzione in corrispondenza di un intorno x0, generalmente non definito dal dominio. Tra i vari tipi di asintoti, quello verticale √® il pi√Ļ facile da individuare e pu√≤ essere sinistro, destro o bilatero.

In questa lezione vedremo come si trovano gli asintoti verticali, analizzando non solo le formule di calcolo da usare, ma anche le definizioni. Nella seconda parte invece ci concentreremo su alcuni esempi pratici ed esercizi svolti.

Definizione asintoto verticale

Sia f(x) una funzione definita in un sottoinsieme di R e sia x0 un punto di accumulazione del dominio. Allora se vale la relazione:

asintoto-verticale

la retta di equazione x=x0 è un asintoto verticale.

Alcuni chiarimenti

In poche parole quando la funzione si avvicina ad un punto finito sull’asse delle x, la sua y tende a pi√Ļ infinito o meno infinito. Nello studio di funzione generalmente si effettua il calcolo del limite sia sinistro che destro in quell’interno.

asintoti-verticali

Nel primo caso si parla di asintoto verticale sinistro, nel secondo caso, quando invece il limite viene da destra, si parla di asintoto verticale destro. Nel caso in cui siano verificate entrambi i limiti, allora si parla di asintoto verticale bilatero.

OSSERVAZIONE

Si sottolinea che non necessariamente il limite destro e sinistro devono tendere allo stesso infinito. In tantissimi esercizi capiter√† che il limite destro tenda a pi√Ļ infinito mentre quello sinistro a meno infinito (o viceversa). Ci√≤ non viola la definizione data, per cui saremo ancora in presenta di rette asintotiche verticali.

Calcolo asintoto verticale

Come si procede in genere per trovare gli asintoti verticali di una funzione?

  • Si effettua lo studio del dominio della funzione e si trovano eventuali punti di discontinuit√†. Nelle razionali fratte, ad esempio, imponendo il denominatore diverso da zero, si otterr√† un risultato del tipo x‚Ȇx0. E’ proprio quest’ultimo valore che inseriremo all’interno dei limiti verticali.
  • Si calcolano il limite destro e sinistro della funzione attorno al punto¬†x0. Se i limiti tendono a¬†¬Ī‚ąě, allora la retta x=x0¬†√® un asintoto orizzontale.

La differenza con gli altri asintoti

Rispetto all’asintoto orizzontale o all’asintoto obliquo, in questo caso la ricerca del limite non avviene su valori infiniti. Nei casi precedenti eravamo abituati a studiare il limite della funzione per x che tende a infinito. In questo caso invece il limite va studiato in corrispondenza di un valore finito.

Asintoto verticale esempi

Quando una funzione presenta un asintoto verticale √® sempre possibile stabilire con esattezza l’andamento del suo grafico in prossimit√† dell’asintoto calcolando i limiti destro e sinistro. In particolare sono possibili quattro casi:

Caso 1

ricerca-asintoto-verticale

Se x tende a¬†x0¬†da sinistra, le ordinate dei punti delle funzioni tenderanno sempre pi√Ļ a +‚ąě. Quindi sul grafico la curva tende ad andare verso l’alto.

asintoto-verticale-calcolo

Caso 2

asintoto-verticale-ricerca

Per x che tende a¬†x0¬†da sinistra, le ordinate dei punti appartenenti alla funzione tendono a -‚ąě, per cui sul grafico la funzione si sposta sempre pi√Ļ verso il basso.

asintoti-verticali-ricerca

Caso 3

asintoto-verticale-come-si-trova

Quando x tende a¬†x0¬†da destra, le ordinate della funzione f(x) si avvicinano sempre di pi√Ļ a¬†+‚ąě. Questo vuol dire che la curva sul grafico parte dall’alto e si abbassa velocemente.

limiti-verticali-asintoti

Caso 4

asintoti-verticali-come-si-trovano

Quando x tende a¬†x0¬†da destra, le ordinate della funzione tendono sempre pi√Ļ a meno infinito. Questo vuol dire che il grafico della funzione parte dal basso e cresce molto velocemente spostandosi verso destra.

asintoto-verticale-formula

Esercizi svolti

Trovare gli asintoti verticali della seguente funzione:

asintoto-verticale-esercizi

Svolgimento

Poiché la funzione è una razionale fratta, il dominio è:

D: x‚Ȇ0

Si tratta di un dominio illimitato, visto che pu√≤ andare sia a pi√Ļ che a meno infinito. C’√® un punto singolare che genera la discontinuit√†. Pu√≤ avere quindi un asintoto verticale. Per capirlo, calcoliamo il limite della funzione per x che tende a 0, sia da destra che da sinistra.

limiti-verticali-esercizi

Poiché il limite nel punto 0 va a infinito, allora:

x=0 è un asintoto verticale.

Possiamo quindi rappresentare sul grafico, l’andamento della curva.

asintoto-verticale-grafico

Da notare come a sinistra della retta x=0 (che coincide con l’asse delle ordinate), la curva tenda a meno infinito, mentre a destra di x=0 la funzione tende a pi√Ļ infinito.

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