Intersezione tra due rette – come trovare le coordinate del punto

Uno dei primi problemi ad essere svolti nel programma di geometria analitica è quello di determinare l’intersezione tra due rette nel piano cartesiano. In questa lezione vedremo come calcolare il punto di intersezione con una prima spiegazione teorica (molto semplice) e poi con esempi ed esercizi svolti.


Come si calcola l’intersezione tra due rette nel piano

La lezione di oggi è fondamentale perché vedremo il metodo grafico e il calcolo del punto di intersezione di due rette e più in generale di due figure. Dal punto di vista grafico il procedimento è molto semplice. Ti ricordi come disegnare una retta nel piano cartesiano? Dicemmo che dall’equazione della retta ti basta assegnare un valore a tua scelta alla x e calcolare la y di conseguenza per due volte. Si ottengono così due punti sul grafico, unendoli si ottiene la retta. In questo modo puoi trovare l’intersezione tra 2 rette graficamente. Ciò però non è sufficiente, perché il loro punto di intersezione potrebbe non essere un numero intero ma essere ad esempio una frazione (cioè avere la virgola).

Come determinare il punto di intersezione analiticamente

Questo procedimento che stiamo per vedere vale per determinare l’intersezione tra due generiche figure in geometria analitica. Quindi ti sarà utile per la circonferenza, la parabole, l’iperbole per qualsiasi funzione andrai a studiare. Il motodo è molto semplice e consiste nell’andare a calcolare un sistema di equazioni composto dalle equazioni della retta.

Vediamo di spiegare con un esempio. Immaginiamo di dover trovare l’intersezione tra le due rette y=m1 x+q1 e y=m2 x+q2, ti basta andare a risolvere un sistema in cui in ogni riga andrai a scrivere le due equazioni. Quindi metterai una parentesi graffa e poi le equazioni delle due rette una sopra l’altra (non ha importanza quale scrivi in alto e quale in basso). Ti sarà tutto più chiaro vedendo gli esercizi che ti riportiamo di seguito, assieme al risolutore online…

Calcolare l’intersezione tra 2 rette online

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Esercizi sull’intersezione tra due rette

Esercizio 1

Determinare le coordinate del punto di intersezione tra le due rette r:y=1/4x-1/2 e s:y=-x+5

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Come puoi vedere per risolvere il sistema è stato usato il metodo della sostituzione. Siamo arrivati rapidamente a trovare la soluzione dell’esercizio, calcolando le coordinate x ed y del punto di intersezione. Infine ti abbiamo incluso il grafico, che va sempre disegnato negli esercizi di geometria analitica.

Esercizio 2

Tracciare il grafico delle due rette e il loro punto di intersezione. r:y=-1/3x+2/3, s:y=3x-1/2

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Esercizio 3

Determinare l’intersezione tra le due rette nel piano cartesiano. r: -4x+4y-12=0 e s:2x-y+5=0

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In questo caso l’esercizio, o meglio il sistema algebrico tra le due equazioni, è stato risolto usando il metodo della somma. E’ stato cioè moltiplicata la seconda equazione per 2 (entrambi i membri) così da ottenere lo stesso coefficiente della x (ma in segno opposto). A questo punto è bastato sommare le due equazioni per arrivare rapidamente alla soluzione.

Intersezione tra rette parallele e perpendicolari

Ti ricordi quali caratteristiche hanno in geometria analitica le rette parallele e perpendicolari nel piano cartesiano? Dicemmo che nel primo caso le rette hanno stesso coefficiente angolare (Esempio: m1=m2=3), nel secondo caso l’inverso e con il segno cambiato (Esempio: m1=2, m2=-1/2).

Dal punto di vista teorico, la spiegazione è molto semplice: le rette perpendicolari si risolvono come tutte le altre, non hanno nessuna differenza. Mentre le rette parallele non si intersecano mai, per cui ci troveremo di fronte ad un sistema impossibile. Non ci credi? Guarda questo esempio…

Cerca di trovare il punto di intersezione tra due rette parallele: y=x+1 e y=x+4.

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In questo facile esempio abbiamo usato il metodo della sottrazione per risolvere il sistema che, di fatto, è impossibile! Cioè non esistono punti di intersezione tra le due rette.

Se vuoi continuare ad esercitarti ti consigliamo questa piccola raccolta di esercizi sulle intersezioni tra rette del liceo Enrico Fermi di Roma -> scarica il file

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