Discontinuità di prima specie, definizione, esempi ed esercizi svolti

La discontinuità di prima specie si ha nel momento in cui esistono e sono finiti il limite destro e sinistro, ma sono diversi tra loro indipendentemente dal valore che la funzione assume nel punto C.

Dal punto di vista matematico questo può essere scritto come:

discontinuita-di-prima-specie

In poche parole, quando si ha una discontinuità di prima specie, detta anche discontinuità di primo tipo, sul grafico si vedrà un salto vero e proprio nella curva. Questa procederà normalmente fino ad un certo punto, poi si interromperà bruscamente per riprendere in corrispondenza di una nuova ordinata.

Ecco alcuni esempi di come potrebbero essere i grafici di una funzione con una discontinuità di 1° specie.

Caso 1

La definizione di discontinuità di prima specie stabilisce solo che esistono e sono finiti i limiti destro e sinistro della funzione nel punto C, ma non da alcuna informazione riguardo al valore che assume f(x) in C. Il primo caso è quello per cui la curva prosegue fino a C incluso, cioè il valore f(C) rientra nella prima parte della curva, subito dopo c’è il salto.

discontinuita-prima-specie

Caso 2

Nell’immagine che vedi, è rappresentata una possibile discontinuità di prima specie dove questa volta, il limite sinistro assume un valore, f(C) cioè il valore della funzione nel punto C ne assume un altro, e il limite destro un altro ancora.

discontinuita-di-primo-tipo

 

Caso 3

Nell’ultimo caso che puoi vedere nell’immagine sotto, abbiamo una situazione in cui c’è un vero e proprio punto di discontinuità. Cioè la funzione nel punto C non esiste, per cui non è definito f(c). Tuttavia il limite destro e sinistro esistono, sono finiti e diversi tra loro.

discontinuita-di-1-specie

Esercizi sulla discontinuità di prima specie

Vediamo ora una esempio pratico di una funzione che presenta questo primo tipo di discontinuità.

esercizi-discontinuita-prima-specie

Abbiamo una funzione con un valore assoluto. Il primo passo è quello di calcolare il dominio della funzione. Essendo una fratta, si impone che il denominatore è diverso da zero. Per cui possiamo scrivere:

C.E.
x≠0

Essendoci il valore assoluto, nella pratica ci sono 2 funzioni da studiare.

esempio-discontinuita-prima-specie

Che significa quello che abbiamo scritto? Che, sul grafico:

  • quando x>0, la funzione da studiare è y=+1, che è l’equazione di un retta orizzontale.
  • quando x<0, la funzione da studiare è y=-1, anch’essa una retta orizzontale.

Poiché non esiste la funzione nel punto 0, perché non lo consentono le condizioni di esistenza, allora ho:

discontinuita-prima-specie-tipo-2

esempio-discontinuita-prima-specie-2

Quindi la funzione dataci dalla traccia presenta una discontinuità di prima specie, con un salto do 2 unità. Infatti la distanza tra il risultato dei due limiti (cioè tra -1 e +1) è proprio pari a 2.

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