Triangolo di Tartaglia spiegazione ed esempi

Nella lezione di oggi daremo un’ampia ma semplice spiegazione sul Triangolo di Tartaglia: con degli esempi pratici vedremo come si costruisce la piramide di Tartaglia e soprattutto, obiettivo finale della lezione, vedremo come si fanno le potenze di un binomio.


Gli argomenti della lezione

riepilogo-esercizi-matematica A che serve il triangolo di Tartaglia

riepilogo-esercizi-matematicaChe cos’è il Triangolo di Tartaglia

riepilogo-esercizi-matematica Come si costruisce il triangolo di Tartaglia

riepilogo-esercizi-matematica Come calcolare le potenze di un binomio

riepilogo-esercizi-matematicaEsercizi con soluzione

riepilogo-esercizi-matematicaEsercizi da risolvere


A che serve il triangolo di Tartaglia?

Abbiamo trovato che il quadrato di un binomio (a+b) mi genera un polinomio di grado 2 omogeneo, ordinato con le potenze di a decrescenti e crescenti di b. Analogamente abbiamo detto che il cubo di un binomio (a+b) porta a un polinomio di grado 3, omogeneo e completo ordinato allo stesso modo del quadrato.

Anche per potenze superiori alla terza si ottengono polinomi di grado uguale all’esponente, omogenei, completi e ordinati secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b.

Questo vuol dire che per calcolare le potenze di un binomio di qualsiasi grado esiste una tecnica generale che prevede però la spiegazione del Triangolo di Tartaglia.

Che cos’è il Triangolo di Tartaglia?

Niccolò Tartaglia è un matematico italiano del 1500 che riuscì a creare una formula generale diventata oggi fondamentale per risolvere le espressioni algebriche. Per capire di cosa stiamo parlando vi mostriamo la formula del quadrato e del cubo di binomio già vista nelle precedenti lezioni sui prodotti notevoli:

quadrato-di-binomio-formula
Quadrato di binomio – formula
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Cubo di binomio – formula

A parte il primo e l’ultimo termine che rappresentano la potenza del primo e del secondo monomio, gli altri hanno tutti un coefficiente. Da dove deriva? Dal triangolo di Tartaglia. Questo non è altro che un insieme di numero che si costruisce sempre allo stesso modo, vediamo come funziona.

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Come si costruisce il triangolo di Tartaglia?

Anche se la spiegazione del prof. alla lavagna ti ha lasciato molti dubbi, prova a ragionare in maniera più semplice. Parti da una semplice considerazione, ovvero che per le regole delle potenze, qualsiasi numero o lettera (inclusi i monomi e i polinomi) elevati a 0, danno come risultato 1.

costruzione-triangolo-di-tartaglia-1

Se invece eleviamo il binomio all’esponente 1, praticamente non cambierà nulla, dato che qualsiasi numero elevato a 1 è uguale al numero stesso. Per cui spostandoci sul rigo sottostante, possiamo scrivere:

costruzione-triangolo-di-tartaglia-1

A questo punto possiamo proseguire con la costruzione del triangolo di Tartaglia con semplici operazioni aritmetiche. Osserviamo infatti che ogni numero inserito nella nostra piramide è uguale al numero che sta subito in alto sommato a quello che sta in alto immediatamente a sinistra. La regola inoltre prevede che quando c’è casella bianchi si consideri il numero pari a 0. Vediamo praticamente come si fa passo passo:

costruzione-triangolo-di-tartaglia-2

Ogni numero cerchiato con un colore diverso è stato ottenuto sommando i numeri raggiunti dalla rispettiva freccina. Allo stesso modo, per il cubo di binomio, si ottiene

triangolo-di-tartaglia-passo-3

Possiamo proseguire in questo modo ed ottenere i coefficienti di tutte le potenze di un binomio. Quella che vi mostriamo ora è la tabella che arriva fino a 7. Ovviamente si può tranquillamente andare oltre, non ci sono limiti. E’ proprio questo il punto di forza di questa regola generale.

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Triangolo di Tartaglia completo

Come hai potuto vedere la spiegazione del Triangolo di Tartaglia è estremamente semplice e necessita di poche somme aritmetiche. Da notare che la prima colonna contiene solo numeri 1 così come la diagonale di questo triangolo rettangolo.

Come calcolare le potenze di un binomio

A questo punto per calcolare la potenza generica di un binomio la regola è semplicissima: il primo monomio lo si fa iniziare con il grado massimo e lo si decresce di 1 per ogni singolo monomio, mentre il secondo monomio inizia con grado 0 e finisce con il grado massimo.

Per capire meglio come calcolare le potenze, vediamo come si usa il Triangolo di Tartaglia con un esempio:

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Potenza con il Triangolo di Tartaglia alla quarta

Come abbiamo risolto l’esercizio? Dato che il binomio è alla quarta andiamo a considerare i coefficienti della relativa riga sul triangolo (che abbiamo segnato in rosso). Il primo termine avrà quindi quindi coefficiente 1, il secondo 4, il terzo 6, il quarto 4 e l’ultimo 1. Per quanto riguarda le lettere, invece la a avrà da subito grado 4 mentre b grado 0 (infatti non c’è!). Il secondo termine la a avrà grado 3, mentre b grado 1. Il terzo termine avrà coefficiente 6, grado della a 2 e grado di b 2 e così via.

Esercizi con soluzione

Una delle domande che potrebbe porsi lo studente è: ma come si risolvono le potenze con Tartaglia se ho dei monomi negativi? Vediamo subito in un esempio:

binomio-alla-quinta-tartaglia
Binomio con potenza alla quinta risolto con Tartaglia

Hai visto che anche con una potenza di un binomio con un segno meno non cambia la regola di Tartaglia: anzi, per evitare di sbagliare, è sufficiente che tu la applichi in maniera rigorosa usando bene le parentesi tonde. Metti ogni monomio all’interno delle parentesi e vedrai che i segni non ti creeranno problemi. Ovviamente per ogni esercizio non c’è bisogno di riscrivere il triangolo da capo, ti basta avere uno schema che puoi consultare ogni volta che dovrai risolvere un esercizio.

Tartaglia-alla-sesta
Potenza con Tartaglia alla sesta

Esercizi da risolvere

Non resta che esercitarti con semplici tracce.

esercizi-triangolo-di-tartaglia
Esercizi sul triangolo di Tartaglia

Da notare che l’ultimo esercizio include una radice quadrata. Se hai ben presente le regole delle radici, non spaventarti e prova a risolvere normalmente l’esercizio. Se segui alla lettera la regola che abbiamo studiato oggi assieme, vedrai che non avrai alcun problema.

Ti consigliamo di eliminare qualsiasi dubbio argomento (contattaci per problemi, noi siamo a tua disposizione). Si tratta di un tipo di calcolo che non si incontra spesso nelle espressioni algebriche o nelle equazioni, ma che diventa vitale durante un compito o un’interrogazione.

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