Retta tangente alla circonferenza passante per un punto dato

Uno degli esercizi più difficili di tutto il programma di geometria analitica è la retta tangente alla circonferenza passante per un punto. Vediamo come risolvere questo tipo di esercizio in maniera semplice e senza commettere errori.

Spiegazione dell’esercizio e della traccia

Determinare l’equazione della retta tangente alla circonferenza e passante per il punto P di coordinate note. Generalmente è questa la traccia che viene proposta e che mette in difficoltà gli studenti. L’esercizio sostanzialmente ci sta chiedendo di calcolare l’intersezione tra una retta e una circonferenza, soltanto che la retta non la conosciamo ancora. Ovviamente la condizione di tangenza si traduce con il fatto che le due curve hanno un solo punto di intersezione.

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La condizione di tangenza si esprime indicando l’esistenza di un solo punto in comune

Come si risolve questo esercizio? Innanzitutto sappiamo che l’equazione della retta è y=mx+q, ma passa anche per un punto. Per cui applichiamo la formula della retta passante per 1 punto, per cui le incognite non saranno più m e q, ma soltanto m. Il coefficiente angolare resta infatti l’unica vera incognita del problema.

A questo punto calcoliamo l’intersezione tra la retta con incognita m e la circonferenza data dalla traccia dell’esercizio. Poiché i punti in comune non sono due, mi aspetto di avere non 2 soluzioni, ma soltanto 1. Per cui quando risolvo il sistema e mi trovo a dover calcolare il delta nell’equazione di secondo gradodevo imporre la condizione DELTA = 0. 

Otterrò così un’equazione in cui l’unica incognita è il coefficiente angolare. Risolvendola ho ottenuto m, che posso sostituire nell’equazione della retta e l’esercizio è risolto.

Esercizio svolto sulla retta tangente alla circonferenza

Determinare le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza x2+y2-2x+4y+1=0 e passante per il punto P(3;5).

Innanzitutto ai fini del calcolo non ci interessa sapere che il punto P appartenga o meno alla circonferenza. La cosa importante è che la retta passi per quel punto. Utilizziamo quindi subito l’equazione della retta passante per 1 punto. y-yp=m(x-xp).

Otteniamo quindi la retta y-3=m(x-5), che dopo un semplice passaggio diventa y=mx-5m+3. A questo punto possiamo andare a scrivere il sistema così da calcolare la retta tangente alla circonferenza.

 retta-tangente-alla-circonferenza-per-un-punto

Ho ottenuto una semplice equazione di primo grado dove l’incognita è la m, ovvero il coefficiente angolare della retta tangente alla circonferenza. In particolare dopo i calcoli ottengo m=45/28. A questo punto basta andare a sostituire nell’equazione della retta iniziale e siamo riusciti a risolvere l’esercizio in maniera semplice.

y=mx-3m-5, diventa cioè y=45/28 x – 107/28.

Tracce ed esercizi da risolvere

Se stai cercando qualche altro esercizio sulle rette tangenti alla circonferenza ti suggeriamo alcune tracce su cui esercitarti.

  • Determinare l’equazione della retta tangente alla circonferenza x2+y2+6x+4y-8=0 e passante per il punto P(4;-1)
  • Determinare la retta tangente alla circonferenza di equazione x2+y2+4x-2y+4=0 e passante per il punto P((5,4)

Per ulteriori approfondimenti, per chiedere una mano con i tuoi esercizi o per chiederne altri da svolgere, il nostro staff è a tua completa disposizione. Contattaci e riceverai tutto l’aiuto di cui hai bisogno.

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