Regola di Ruffini per la divisione di polinomi

In classe il tuo professore ti ha dato una spiegazione della regola di Ruffini che non hai capito? Non riesci a risolvere gli esercizi con le divisioni tra polinomi? In questa lezione vedremo la regola di Ruffini con esercizi svolti ed esempi.


Che cos’è la Regola di Ruffini?

Divisibilità di un polinomio per un binomio

Come usare la regola di Ruffini

Spiegazione passo passo

Come trovare il divisore?

Esempio di applicazione di Ruffini

Un altro esercizio svolto

Esercizi su Ruffini


Che cos’è la Regola di Ruffini?

La regola di Ruffini, nota anche come metodo di Ruffini o teorema di Ruffini, è un metodo per fare la divisione di un polinomio per un binomio generico. Il nome di questa tecnica fu elaborata per la prima volta dal matematico italiano Paolo Ruffini all’inizio del 1800.

Probabilmente hai già visto la Regola di Ruffini su Wikipedia ma ci hai capito ben poco, troppe lettere e spiegazione troppo difficile. Vediamo come rendere tutto più facile.

Divisibilità di un polinomio per un binomio

E’ necessario fare una premessa: farai uso della regola di Ruffini solo se il resto è 0, cioè se la divisione è esatta. Per far ciò è necessario capire quando un polinomio è divisibile per un binomio. Vediamo subito un esempio pratico:

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Per capire se il polinomi è divisibile per il binomio dato dalla traccia e quindi se posso applicare la regola di Ruffini, è necessario sostituire il valore opposto di a (cioè il numero del binomio cambiato di segno), all’interno del polinomio al posto della x.

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Poiché il valore ottenuto è diverso da zero, allora la divisione non è esatta e il numero individuato rappresenta proprio il resto. Puoi verificare svolgendo il calcolo come hai nella lezione sulle divisioni tra polinomi.

Come usare la regola di Ruffini?

La regola Ruffini si può applicare in tutte le divisioni tra un polinomio e un binomio, ma nella maggior parte degli esercizi di matematiche si svolgono al liceo e nelle successive lezioni sulle scomposizioni dei polinomi, si applica il metodo di Ruffini solo quando il resto sarà pari a 0.

La spiegazione passo passo – Come si fa Ruffini?

La spiegazione della Regola di Ruffini la vediamo passo passo con un esempio. Il primo step è quello di disegnare una piccolo schema in cui andiamo ad inserire tutti i coefficienti delle incognite, ordinate in senso decrescente.

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Prima di proseguire con il metodo, vediamo come trovare il divisore con Ruffini.

Come trovare il divisore?

Mentre il primo coefficiente (1) può essere direttamente trasportato nel rigo in basso, la domanda che dobbiamo porci è cosa inserire a sinistra? Cioè quale sarà il numero per cui andremo ad effettuare la divisione? In questa caso abbiamo già il binomio divisore (x-1), ma quando dovremo affrontare le scomposizioni, bisogna andare per tentativi e verificare la divisibilità del polinomio per quel binomio. Infatti molti studenti ci chiedono proprio come trovare il divisore con Ruffini?

Immaginiamo di non avere ancora il divisore ma di doverlo individuare. E’ buona regola andare a vedere il termine noto del polinomio (cioè -1) e provare la divisibilità per tutti i suoi sottomultipli, con entrambi i segni. In questo caso potremo fare solo due tentativi prima di trovare il divisore, cioè +1 e -1.

Andando a sostituire -1 al posto della x nel polinomio dividendo otteniamo -1-1=-2 (divisione con resto)

Andando a sostituire +1 al posto della x nel polinomio dividendo, otteniamo +1-1=0 cioè la divisione è esatta. In base al numero trovato, cioè +1, si costruisce il divisore cambiandogli il segno e quindi diventa (x-1).

Il numero così individuato andrà inserito al posto del punto interrogativo cerchiato in rosso nella precedente figura. Visto che nell’esercizio ci viene già dato il divisore non abbiamo questo problema.

Esempio con la regola di Ruffini

Proseguiamo ora con il nostro esempio inserendo il divisore al giusto posto.

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Cosa è stato fatto? Il primo 1 in alto è semplicemente traslato in basso, poi moltiplicato per il +1 a sinistra e il risultato scritto poco più a destra (basta seguire le frecce rosse). Infine si è fatta l’addizione 0+1 per ottenere così -1.

Riepilogando: si fa la moltiplicazione con il divisore a sinistra e l’addizione con il numero in alto. Attenzione: sono operazioni con i numeri relativi quindi non dimenticarti i segni!

Si procede poi sempre allo stesso modo:

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Avendo ottenuto il resto pari a 0, nel caso in cui stiamo risolvendo una scomposizione, vuol dire che abbiamo quasi terminato. Se stiamo invece facendo una semplice divisione tra polinomi con Ruffini allora il resto è per noi poco importante.

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Ai coefficienti ora individuati occorre associare le incognite. Basta prendere il grado del polinomio, 5 nel nostro esempio, abbassarlo di uno e poi affiancarlo ai vari coefficienti.

Un altro esercizio svolto

Il procedimento, come hai potuto vedere non è difficile, ma seguendo meccanicamente il metodo che ti abbiamo illustrato, potrai risolvere le divisioni con Ruffini in maniera semplice e senza commettere errori. Proviamo a fare un altro esempio sulla Regola di Ruffini:

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Data la traccia costruiamo subito la tabella per applicare Ruffini inserendo, nella riga in alto, i coefficienti del polinomio ordinati per grado (aggiungendo lo 0 per ogni termine assente). In basso riportiamo l’1 perché il primo termine si riporta sempre in basso mentre sulla sinistra prendiamo il termine noto del binomio divisore cambiandogli il segno.

La regola è sempre la stessa: i numeri in basso si moltiplicano a sinistra e si sommano algebricamente sulla verticale. Ecco quello che ne risulta:

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Abbiamo così ottenuto una soluzione che ha resto R=12 mentre il polinomio dividendo sarà x al quadrato – 5 x +10.

Esercizi su Ruffini

Per completare questa nostra spiegazione della regola di Ruffini e rendere la lezione ancora più semplice, ti proponiamo qui una serie di esercizi da risolvere. Come sempre il nostro staff è a tua disposizione in caso di dubbi: contattaci per qualsiasi problema.

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Esercizi con soluzione sulla Regola di Ruffini

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