Numero di Nepero, definizione e proprietà

La più classica delle domande che si pone ogni studente quando si trova ad affrontare i logaritmi è: che cos’è il Numero di Nepero? Generalmente il professore di matematica dà sempre la stessa risposta: è una costante, non preoccupatevi di lui perché non vi da fastidio nei calcoli. Allora lo studente replica: “Si ma quanto vale il numero di Nepero?” In questa lezione faremo un po’ di chiarezza, cercando di darti una spiegazione ed una definizione che sia facile e che allo stesso tempo risolva ogni tuo dubbio.

Che cos’è il numero di Nepero?

Il numero di Nepero è una costante matematica indicata generalmente con la lettera e. Viene anche chiamata numero di Eulero ed è numero irrazionale trascende, cioè non si può esprimere con una frazione né come un numero con la virgola periodico. Questa caratteristica lo rende molto simile al PI GRECO.

Quanto vale il Numero di Nepero allora? E’ un numero positivo e vale 2,718, approssimando per eccesso a tre cifre decimali. In realtà ti accorgerai, risolvendo i vari esercizi sui logaritmi e sugli esponenziali che non è importante conoscere il valore del numero di Nepero.

Definizione e dimostrazione

Per comprendere la definizione del numero di Nepero sono necessarie conoscenze avanzate della matematica, che vanno dai limiti alle equazioni differenziali. Mentre i primi si studiano, generalmente, nel programma di analisi, cioè al 5 anno del liceo, le equazioni differenziali si studiano solo all’università di fisica, matematica ed ingegneria. Noi ti riportiamo comunque, per curiosità la definizione più usata dagli studenti.

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La formula che hai appena visto non è altro che il limite notevole del Numero di Nepero.  Chi ha studiato il programma di analisi sa benissimo quanto i limiti notevoli siano importanti nello studio di funzione. Questa espressione venne usata per la prima volta da Bernulli, matematico del XVIII secolo. Se proviamo a sostituire dei valori al posto della n, vediamo quali sono i risultati.

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Quello che si nota è che più aumenta n, più il risultato finale si avvicina al reale valore del numero di Nepero, che viene quindi raggiunto solo quando n tende ad infinito.

La storia del numero di Nepero

Quello di cui stiamo parlando oggi è un numero molto importante, quanto il PI GRECO, ma fuori dall’ambiente matematico sono in pochi a comprenderne il valore. L’uso del Numero di Nepero è fondamentale nelle operazioni di matematica finanziaria. Su un’antica tavoletta babilonese ( siamo nel 1.700 a.C.) uno studioso si chiedeva quanto tempo tesse volerci ad una somma economica per raddoppiare se ogni anno aumentava del 20%. Per risolvere questo semplice esercizio i babilonesi avrebbero dovuto usare le equazioni esponenziali, che ancora non conoscevano.

Il numero e nasce molto probabilmente nel XVII-XVIII secolo, un’epoca in cui si stavano per avviare le grandi rivoluzioni industriali e c’era un grande interesse per il capitale e sui possibili guadagni. Il primo ad avvicinarsi molto al valore di questa costante matematica fu Bernulli che calcolò una cifra  compresa tra 2 e 3. Prima di lui altri avevano provato, come John Napier (in italiano Giovanni Nepero) a cercare un nuovo valore da assegnare alle basi dei logaritmi. Solo dopo la sua morte uscì un lavoro in cui la costante matematica venne chiamata con il nome che noi tutti oggi conosciamo.

Le applicazioni del numero di Nepero

Una volta capito che cos’è, cerchiamo ora di capire a cosa serve il numero di Nepero. Oltre ai calcoli possibili nella matematica finanziaria con gli interessi composti e le capitalizzazioni, le possibili applicazioni della costante di Nepero sono moltissime: dal calcolo delle probabilità allo studio di funzioni, dalla formula di Eulero usata per i numeri immaginari alla più semplice risoluzione delle equazioni logaritmiche.

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