mcm e mcd esercizi e spiegazione per imparare a risolvere i problemi

mcm e mcd eserciziMcm e mcd sono praticamente i fondamenti dell’algebra. Imparare a calcolare il minimo comune multiplo o conoscere la definizione di massimo comune divisore è fondamentale per risolvere problemi ed esercizi più complessi in cui compaiono le frazioni o la messa in evidenza.

In questa pagina vedremo brevemente che cosa sono mcm e mcd. Ci concentreremo su esercizi e problemi che risolveremo assieme, aiutandoci con immagini e spiegazioni facili.

Definizione di mcm e mcd

Abbiamo definito nelle scorse lezioni mcd e mcm. In particolare abbiamo detto che:

  • mcm: si prendono gli elementi comuni e non comuni presi una sola volta col massimo esponente.
  • mcd: si prendono solo gli elementi comuni presi una sola volta col minimo esponente.

Immagino che questo enunciato tu lo abbia già trovato on line o su tutti i libri di testo. E’ inutile quindi fermarci a dare una spiegazione di mcm e mcd. Vediamo subito con degli esercizi come si effettua il calcolo.

Mcd e mcm esercizi

Esercizio 1

Calcolare mcm e mcd tra 60 e 27.

Il primo passo è quello di dividere ogni singolo numero in fattori primi e di trovare eventuali potenze. Vediamo subito come fare con 27 e 60.

60=6 x 10=2 x 3 x 5 x 2=2x 3 x 5
27=9 x 3=3 x 3 x 3=33

A questo punto prendiamo i diversi fattori trovati (2, 3 e 5) e possiamo calcolare mcm e mcd.

mcm= 2x 33 x 5 =4 x 9 x 5 = 180
mcd
= 2 x 3 x 5 = 30


Esercizio 2

Calcolare mcm e mcd tra 240 e 270.

Ancora una volta effettuiamo una scomposizione dei numeri di cui vogliamo calcolare mcd e mcm.

240 = 24 x 10 = 3 x 8 x 5 x 2 = 3 x 2x 5 x 2 = 3 x 2x 5
270= 27 x 10 = 9 x 3 x 5 x 2 = 3x 5 x 2

Da notare come nella scomposizione di 240 e 270 abbiamo utilizzato le proprietà delle potenze. Infatti 2 x 23 = 24, poiché gli esponenti si sommano visto che la base della potenza è la stessa. Aiutati con una calcolatrice oppure scriviti da parte i calcoli delle moltiplicazioni, se necessario.

mcm =  3x 2x 5 = 2.160
mcd = 3 x 2 x 5 = 30


Esercizio 3

Calcolare mcm e mcd tra 15, 45 e 75.

Partiamo come al solito dalla scomposizione dei vari numeri e poi terminiamo con il calcolo di mcd e mcm.

15 = 5 x 3
45 = 9 x 5 = 32 x 5
75 = 15 x 5 = 3 x 5 x 5 = 3 x 52

Per calcolare mcd e mcm, come sempre andiamo a considerare tutti i fattori che abbiamo individuato, cioè 5 e 3.

mcm = 52 x 32 = 25 x 9 = 225
mcd
= 5 x 3 = 15


Esercizi con mcm e mcd da risolvere per casa.

Calcolare mcm e mcd tra i seguenti gruppi di numeri. Quella che ti mostriamo è una tabella. Sulla sinistra trovi i gruppi di numeri da traccia, sulla destra il risultato dell’esercizio. Buon calcolo!

Numeri da cui calcolare mcd e mcm Risultati
12, 18, 24 mcd:6; mcm:72
24, 128 mcd:8; mcm:384
15, 14 mcd:1; mcm:210
18, 21, 27 mcd:3; mcm:378
144, 54, 8 mcd:2; mcm:432
3136, 2352, 1568 mcd:784; mcm:9408

Suggerimenti: Ricordati che se nel calcolo del massimo comune divisore non trovi fattori comuni, allora il risultato sarà 1.

Problemi con mcd e mcm

Si trovano on line e su tutti i libri di testo, diversi problemi con mcd e mcm (a questo link le tracce dei problemi che stiamo per proporti).

Problema 1.

Traccia: Giovanni il fioraio dispone di 24 margherite, 60 ciclamini e 84 tulipani. Quanti mazzetti uguali tra loro potrà fare e quale sarà la loro composizione?

Svolgimento e soluzione: il problema ci chiede di calcolare il mcd tra 24, 60 e 84. Quindi:

24 = 3 x 23
60 = 10 x 6 = 5 x 2 x 3 x 2 = 5 x 3 x 22
84 = 4 x 21 = 22 x 7 x 3

mcd = 3 x 22 = 12 mazzi di fiori


Problema 2.

Traccia: Un cartolaio, dispone di 28 quaderni, 70 agende e 84 diari. Quante confezioni uguali potrà fare e quale sarà la loro composizione?

Svolgimento e soluzione: ancora una volta viene richiesto il calcolo del mcd. Quindi:

28 = 7 x 22
70 = 2 x 5 x 7
84 = 4 x 21 = 22 x 7 x 3

mcd = 7 x 2 = 14 confezioni.

Per capire come possono essere assortite basta fare ogni singolo numero dato dalla traccia diviso il mcd.

Quaderni = 28 : 14 = 2
Agende = 70 : 14 = 5
Diari = 84 : 14 = 12


Problema 3.

Traccia: Due amici sono nati nello stesso paese, ma si vedono raramente perché sempre in viaggio. Considerando che tornano a casa il primo ogni 35 giorni, il secondo ogni 25 giorni, quando si incontreranno di nuovo nel paese dove sono nati?

Svolgimento e soluzione: in questo caso viene richiesto il calcolo del mcm tra 25 e 35. Per questa ragione possiamo scrivere:

25 = 52
35 = 5 x 7

mcm = 7 x 5= 175 giorni

2 thoughts on “mcm e mcd esercizi e spiegazione per imparare a risolvere i problemi”

  1. Ma se in un problema mi viene chiesto di trovare il minimo numero di una tale cosa devo risolverlo con il MCD o con il mcm ?

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