Grado di un polinomio complessivo e rispetto a una lettera

Nella lezione di oggi parleremo del grado di un polinomio: vedremo innanzitutto che cos’è un polinomio, dandone una spiegazione completa con qualche semplice esempio. Vedremo infine la definizione di polinomio omogeneo e ordinato.


Gli argomenti della lezione

Che cos’è il grado di un polinomio?

Grado complessivo di un polinomio e grado di un polinomio rispetto a una lettera

Definizione di polinomio omogeneo


Che cos’è un polinomio? Definizione e spiegazione

Gli studenti molto spesso provano a risolvere gli esercizi di matematica senza avere una minima base teorica. Trovano magari noiosa la lezione alla lavagna e sul libro, per cui decidono di passare direttamente agli esercizi. Nel caso dei polinomi qualche definizione è importante saperla. Ad esempio: che cos’è un polinomio? 

Per definizione, il polinomio è la somma algebrica di due o più monomi.

Ti ricordi che nella lezione sui monomi, abbiamo parlato anche della somma algebrica? Quando due o più monomi si sommano otteniamo un polinomio. Vedremo tra poco che cos’è il grado di un polinomio.

Definizione di polinomio intero, fratto e in forma normale

Un polinomio è intero se tutti i monomi che lo compongono sono interi, è fratto (o frazionario) quando si ha anche un solo monomio frazionario, cioè con la x al denominatore. Un polinomio si dice ridotto a forma normale quando si sono già semplificati i monomi simili.

Che cos’è il grado di un polinomio?

Per definizione il grado di un polinomio è il grado massimo dei monomi che lo compongono. Cioè tra tutti i monomi vediamo qual è quello con il grado più alto: quel numero sarà il grado complessivo di un polinomio. Vediamo subito un esempio:

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Esempio di polinomio e grado completo di polinomi

Nell’esempio in figura notiamo che il monomio è composto da 3 monomi. Come già hai imparato nelle precedenti lezioni il grado di un monomio si calcola sommando gli esponenti, per cui il primo monomio ha grado 5, il secondo ha grado 7 e il terzo 9. Per cui il grado complessivo del polinomio è 9.

Grado complessivo di un polinomio o rispetto ad una lettera

Quello che abbiamo visto nell’esempio è il grado complessivo del polinomio. Ma possiamo anche dire che il polinomio è di terzo grado rispetto alla lettera a, di quarto grado rispetto alla lettera b e di quarto grado rispetto alla lettera c.

Questo significa che il grado di un polinomio rispetto a una lettera è dato dal massimo esponente con cui compare la lettera all’interno del polinomio dato. Ovviamente il polinomio deve essere stato già ridotto nella sua forma normale, per cui si presumono già risolte le operazioni tra monomi.

Definizione di polinomio omogeneo

Concludiamo questa prima parte sugli appunti sui polinomi dando la definizione di polinomio omogeneo. Quando ci troviamo in presenza di un polinomio che abbia tutti i termini dello stesso grado, si parla di polinomio omogeneo. Ecco un esempio che ti aiuterà a chiarire la definizione appena esposta:

polinomio-omogeneo-definizione
Esempio di polinomio omogeneo

Il polinomio è omogeneo i terzo grado.

Prima di concludere ti diamo un ultima definizione, piuttosto banale. Un polinomio è ordinato quando gli esponenti sono messi in ordine decrescente. Il termine senza incognita viene definito in genere termine noto. Esempio:

polinomio-ordinato
Polinomio ordinato

Il polinomio in figura è di secondo grado, omogeneo ed ordinato secondo le potenze decrescenti di b, crescenti di a.

Concludiamo così questa prima lezione teorica sulle principali definizioni. Hai imparato quindi che cos’è un polinomio e come fare a sapere di che grado è. A questo punto siamo pronti per affrontare le operazioni con i polinomi

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