Funzioni biettive – grafico, esempi e definizione

Nelle scorse lezioni abbiamo parlato di come riconoscere le funzioni inettive e suriettive. Nella lezione di matematica di oggi vedremo invece cosa sono le funzioni biettive e come fare a riconoscerle. Partiremo dalla definizione, dando una spiegazione molto precisa e allo stesso tempo semplice, fino ad arrivare ad esercizi ed esempi svolti.

Una funzione biettiva, detta anche funzione biiettiva, o biunivoca, è particolarmente importante per risolvere gli esercizi di matematica, poiché mi permette di stabilire quando una funzione è invertibile. Ad ogni modo cerchiamo subito di capire quali sono le funzioni biettive o biunivoche.

Funzione biettiva definizione

Sia f una funzione che trasforma elementi dell’insieme A, il dominio, in elemento dell’insieme B, codominio. Diciamo che f è una funzione biiettiva se essa è contemporaneamente una funzione iniettiva e una funzione suriettivaLe due condizioni devono essere verificate contemporaneamente:

  • per ogni a1,a2 appartenenti ad A, con a1 diverso da a2, f(a1) deve essere diverso da f(a2)
  • f(A)=B

Cerchiamo ora di dare una definizione a tutti gli studenti che si chiedono “Come faccio a capire se una funzione è biiettiva?” La definizione di funzione biunivoca è molto più semplice rispetto alle iniettive e suriettive.

funzione-biettiva-wikipediaPossiamo semplificare anche dicendo che una funzione è biiettiva quando associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B ed ogni elemento di B è il corrispondente di uno ed uno solo elemento di A.

Come puoi vedere dal grafico Una funzione di questo tipo viene anche chiamata corrispondenza biunivoca tra gli insiemi A e B.

A questo punto vediamo alcuni esempi pratici ed esercizi svolti per rendere più chiaro l’argomento.

Esempio 1.

La funzione reale di variabile reale y=2x-1 è una funzione biettiva. Infatti il dominio della funzione è l’insieme dei numeri reali R. Inoltre se risolviamo l’equazione di primo grado portandoci la x a sinistra otteniamo:

x=y/2-1/2

Volendo calcolare il dominio riferito alla y e non alla x (cioè il codomonio) vediamo che l’insieme di definizione è sempre R. Questo significa che per ogni x esiste sempre una y e viceversa.

Esempio 2.

y=x^2-4 è una funzione biiettiva? No, perché mentre il suo dominio è l’insieme dei numeri reali R, il suo codominio ha delle esclusioni. Andando a risolvere questa equazione di secondo grado portando la x a sinistra ottengo che x è uguale alla radice quadrata di y+4, che ammette valori reali solo nel caso in cui y sia maggiori o uguali di -4.  Per y=-5, ad esempio, non ho controimmagine, per cui non abbiamo una funzione biiettiva.

Esercizio

Stabilire se la funzione è biettiva facendo bene attenzione agli insiemi che sono forniti dalla traccia.

funzione-biiettiva-esercizio

Il dominio della funzione è x-3 diverso da 0, che con un semplice passaggio algebrico diventa x diverso da 3. Questo significa che il dominio comprende l’insieme dei numeri reali ad esclusione del valore 3. La traccia mi permette questa soluzione.

Per quanto riguarda il codominio prima è necessario fare un passaggio matematico:

funzione-biiettiva-metodo-analitico

A questo punto possiamo calcolare il codominio che comprende tutti i valori dei numeri reali ad esclusione di 2, lo stesso che mi consente la traccia. Per questa ragione si tratta di una funzione biettiva e quindi c’è corrispondenza biunivoca  tra x e y.

Per qualsiasi dubbio riguardante le funzioni biettive, il nostro staff è a vostra completa disposizione. Contattaci per ulteriori chiarimenti.

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *