Frazioni algebriche spiegazione ed esercizi svolti

Capire le frazioni algebriche è fondamentale per imparare a risolvere gli esercizi sulle espressioni algebriche. Ecco una semplice spiegazione con qualche esercizio svolto.

Definizione

Addizione e sottrazione

Moltiplicazione

Divisione

Potenze


Cosa sono le frazioni algebriche?

Definizione: Le frazioni algebriche sono delle particolari frazioni che hanno per numeratore e denominatore due espressioni algebriche.

Dalla definizione riusciamo a ricavare subito un concetto molto importante per capire l’argomento di oggi. All’interno delle frazioni algebriche i polinomi possono comparire anche al denominatore.

Poiché inoltre non esiste ed è impossibile una frazione con lo zero al denominatore, è importante sottolineare come il denominatore sia necessariamente diverso da zero. Queste sono quelle che probabilmente hai sentito chiamare condizioni di esistenza.

Per il resto la spiegazione non è affatto difficile, dato che sono perfettamente uguali alle frazioni algebriche. Per questa ragione potremo semplificare il numeratore con il denominatore dividendoli per uno stesso monomio.

frazioni-algebriche-semplificazioni

Mentre nel primo esempio le frazioni algebriche sono state semplificate semplicemente riducendo per i termini comuni – in realtà avremmo dovuto calcolare il massimo comune divisore, ma è possibile semplificare a occhio – nel secondo esercizio abbiamo dovuto applicare le regole delle scomposizioni di polinomi. In particolare al numeratore è stata fatta una messa in evidenza totale mentre al denominatore una differenza di quadrati. In questo modo abbiamo ottenuto la parentesi (x+y) moltiplicata sia sopra che sotto, per cui semplificabile.

Vediamo ora come si eseguono le operazioni con le frazioni algebriche.

Addizione e sottrazione

Come per le frazioni aritimetiche, anche le addizioni di frazioni algebriche devono essere ridotte, cioè semplificate e poi in seguito è necessario calcolare il minimo comune multiplo, così che i denominatori siano gli stessi. Eseguite le somme tra le frazioni algebriche, se possibile, si semplifica il risultato ottenuto. Vediamo un esempio.

frazioni-algebriche-addizione

In questo primo passaggio abbiamo da subito provato a ridurre ai minimi termini, cioè a scomporre, i due denominatori.

Trucco per risolvere le frazioni algebriche: se trovi un polinomio di grado superiore a 1, cerca sempre di scomporre. Cioè se vedi un quadrato, un cubo o qualsiasi altra potenza prova a scomporre sempre. A questo punto calcolo il mcm di polinomi:

frazioni-algebriche-somma

Moltiplicazione tra frazioni algebriche

Per le moltiplicazioni si scrive una frazione avete per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori. Naturalmente, se possibile, conviene poi semplificare. Vediamo subito un esempio facile:

frazioni-algebriche-moltiplicazione

Ovviamente, come nel caso delle frazioni aritmetiche, è possibile semplificare i termini incrociati della moltiplicazione.

Divisione tra frazioni algebriche

Le divisioni tra frazioni algebriche si risolvono trasformando il diviso in per e invertendo il secondo termine (il numeratore diventa denominatore e viceversa). Non è difficile e si risolve esattamente come una normale divisione tra frazioni. Per dubbi leggi la lezione sulle operazioni con i numeri relativi.

Vediamo un esempio più difficile:

divisioni-tra-frazioni-agebriche

Per risolvere la frazione algebrica è stata applicata la regola della differenza di cubi. Dopo la scomposizione è stato sufficiente applicare le normali regole sulle moltiplicazioni e semplificare.

Potenze di Frazioni Algebriche

E’ la parte più semplice della lezione. Per elevare a potenza una frazione algebrica basta elevare a quell’esponente il numeratore e il denominatore della frazione. Ricordati che anche in questo caso valgono le proprietà delle potenze.

Ecco un esercizio svolto:

frazioni-algebriche-potenze

Ti consigliamo di prestare molta attenzione a questo esercizio svolto, perché contiene un passaggio che molto spesso gli studenti sbagliano. Un errore molto comune è di semplificare la a del numeratore con quella del denominatore: è sbagliato! Al numeratore la è un addendo, cioè fa parte di una somma. Al denominatore è un prodotto (è come se fosse moltiplicata per 1), per cui non si possono assolutamente semplificare.

A questo link trovi frazioni algebriche già svolte con cui puoi esercitarti e confrontare i risultati. (VAI AGLI ESERCIZI SVOLTI)

Per una più completa spiegazione e per consigli su come risolvere in maniera ottimale e semplice anche i più difficili esercizi, non esitare a contattarci: il nostro staff sarà felice di aiutarti.

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