Formule di bisezione seno e coseno, tabella e dimostrazione

In questa lezione vedremo come si ricavano le formule di bisezione. Quali sono i valori riferiti a seno, coseno, tangente e cotangente, con dimostrazioni ed esercizi svolti.

Le formule di bisezione in geometria analitica fanno parte delle formule trigonometriche. Vengono riunite in un solo grande gruppo perché partendo dalle formule di addizione e sottrazione si riescono a ricavare tutte le altre. Iniziamo dalla dimostrazione formule di bisezione del coseno.

Dimostrazione formule bisezione seno e coseno

Si parte dalla formula di duplicazione del coseno per ottenere le formule di bisezione del seno e coseno. Abbiamo già visto nelle precedenti lezioni che possono essere anche scritte come:

formula-duplicazione-coseno-regola

Partendo dalla formula di duplicazione del coseno al quadrato, andiamo a sostituire a al posto di 2e a/2 al posto di a. In questo modo otteniamo delle nuove formule:

formule-bisezione-dimostrazione

Portandoci i termini con l’angolo diviso a sinistra e lasciando tutto il resto a destra otteniamo:

formula-bisezione-coseno-al-quadrato

Basta poi fare la radice quadrata delle formule di bisezione del coseno e del seno per ottenere quelle definitive che vedremo poi nella tabella riassuntiva.

Dimostrazione formula bisezione tangente e cotangente

Trovate le formule di seno e coseno al quadrato, basta sfruttare le relazioni fondamentali della trigonometria per andare avanti con le dimostrazioni. Ecco come si fa la dimostrazione della formula bisezione della tangente.

formule-bisezione-tangente-cotangente

In realtà tangente e cotangente possono anche essere espresse in questo ulteriore maniera:

bisezione-formule-tangente-cotangente

Formule di bisezione – Tabella completa

formule-bisezione-tabella-completa

Nella tabella che vedi, accanto alle formule di bisezione della tangente e cotangente è stato aggiunto il seno + – che va considerato a seconda del quadrante in cui cade l’estremo dell’arco a/2. Inoltre le ultime e le penultime indicate nella tabella sono le migliori da usare in quanto non presentano problemi con le radici (qui trovi la lezione sulle regole dei radicali).

Questo significa che usando le formule sbagliate, negli esercizi sulle formule di bisezione potresti essere costretto a usare le regole delle equazioni irrazionali.

Formule bisezione, esercizi svolti

In questo ultimo paragrafo vedremo come si usano le formule di bisezione con degli esempi pratici con cui provare le formule appena calcolate.

Esercizio svolto 1

formule-bisezione-esercizio-1

In questo primo facile esercizio, è stata applicata la formula di bisezione della tangente. Dopo pochi calcoli algebrici è stata applicata la razionalizzazione dei radicali moltiplicando e dividendo per la radice quadrata di 2.

Esercizio svolto 2

Sapendo che tga=2 e che 0<a<π, determiniamo tg(5/2 a).

Si tratta di un esercizio difficile ma che si basa su una sola riflessione. Non potendo fare la tangente di 5/2 dell’angolo, è necessario dividere quella frazione in due addendi che possiamo risolvere in maniera più semplice. Poiché 5/2 = 1/2 + 2, allora possiamo trasformare la traccia dell’esercizio:

formule-bisezione-esercizio-2

Come puoi vedere è stato trasformato prima l’angolo 5/2 e poi è stata applicata la formula di addizione della tangente. A questo punto possiamo calcolare separatamente la tg2a attraverso le formule di duplicazione e la tga/2 con la formula di bisezione della tangente.

esercizio-formule-bisezione-2

A questo punto è sufficiente andare a sostituire nella traccia modificata in precedenza i risultati così ottenuti.

esercizi-con-risultati-formule-bisezione

Se dovessi avere dei problemi con la teoria o con gli esercizi di matematica e trigonometria visti in questa lezione non esitare a contattarci. Il nostro staff è a tua disposizione: CONTATTACI.

 

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