Fascio di rette proprio e improprio con esercizi svolti

Nella lezione di oggi vedremo che cosa sono i fasci di rette e daremo una definizione di fascio improprio di rette e fascio proprio di rette, accompagnando il tutto con esempi e spiegazioni. Alla fine, come sempre, esercizi svolti e da svolgere…


Gli argomenti della lezione

Differenza tra fascio proprio e improprio

Definizione di Fascio proprio di rette

Definizione di Fascio improprio di rette

Esempi ed esercizi svolti


Nelle precedenti lezioni abbiamo parlato delle formule delle rette parallele e perpendicolari. Oggi faremo un approfondimento parlando dei fasci di rette propri e propri e impropri. Ma prima è necessario dare la definizione di punto proprio e punto improprio.

Premessa per distinguere il fascio proprio e improprio

Il punto proprio non è altro che il punto geometrico a cui siamo stati abituati sin dalla geometria elementare, per cui non ci dilunghiamo nella sua spiegazione. Il punto improprio per definizione è invece il punto che va all’infinito. Non lo vediamo sulla carte perché si trova in una posizione lontanissima, irraggiungibile. Le rette parallele le abbiamo definite come rette che non si incontrano mai. In realtà nei programmi universitari di disegno, si dice che esse in realtà si incontrano nel punto improprio.

Il fascio di rette proprio

Il fascio proprio di rette per definizione è un insieme di rette che si intersecano in un unico punto proprio.

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Fascio di rette proprio

Il punto in comune a tutte le rette C si chiama Centro del Fascio. Il fascio di rette proprio nel piano cartesiano si studia ricordando la formula di una retta passante per un punto e di coefficiente angolare dato.

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Retta passante per un punto

Infatti tutte le rette del fascio proprio passano per un punto ( il centro del fascio) e di variabile hanno solo l’inclinazione, che in geometria analitica si rappresenta con il coefficiente angolare m.

Esiste una diversa formula per il fascio proprio, che si basa sulle rette generatrici:

(ax+by+c)+k(a’x+b’y+c)=0.

Si tratta di una combinazione lineare delle rette generatrici e per trovare il centro basta mettere a sistema le rette delle equazioni del fascio proprio.

Il fascio di rette improprio

Per definizione il fascio di rette improprio è l’insieme di tutte le rette parallele ad una data retta data.

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Fascio di rette improprio

Il coefficiente angolare m si suppone fisso, dato che tutte le rette del fascio improprio hanno la stessa inclinazione. Il termine noto q dell’equazione della retta deve necessariamente variare. L’equazione di un fascio di rette improprio è quindi:

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Equazione del fascio di rette improprio

Una volta capito che cos’è un fascio improprio o un fascio proprio di rette e quali sono le equazioni che regolano le figure studiate, la parte teorica è praticamente finita. Vi mostriamo ora un paio di esercizi svolti piuttosto semplici…

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Fascio di rette – esercizi svolti

  1. Dato il fascio di rette improprie con retta base r:x+3y=0, troviamo l’equazione della retta del fascio passante per P(-2,-1).
    Iniziamo calcolando il coefficiente angolare della retta:

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    Calcoliamo il coefficiente angolare della retta del fascio improprio

    A questo punto posso scrivere già l’equazione del fascio improprio di rette. m infatti è fisso mentre q possiamo lasciarlo come lettera, dato che è variabile:

    equazione-fascio-di-rette-improprio
    Equazione del fascio improprio di rette

    Imponiamo ora l’appartenenza del punto P(-2:-1) al fascio improprio. Cioè sostituiamo le coordinate del punto nell’equazione del fascio.
    esercizi-svolti-fasci-di-rette-1

  2. Date le rette di equazione r:x+y+1=0 e s:2x-y=0, queste generano un fascio proprio. Determinare il centro del fascio.
    fascio-proprio-di-rette-esercizi-svolti

 Esercizi da svolgere

Per assicurarvi di aver capito cosa sono i fasci di rette e come si svolgono gli esercizi, ecco qualche problema con cui potete esercitarvi. Restiamo come sempre a vostra disposizione attraverso il modulo contatti, per domande, informazioni o suggerimenti.

  1. Determina la retta del fascio improprio y=3x+q passante per il punto P(+1;-4)
  2. Nel fascio y=-2x+q determina a retta r che dista 4raq5 dal punto P(-2;+1)
    Suggerimento: ricordati come si calcola la distanza di un punto da una retta
  3. Determina il centro del fascio proprio di rette di equazione:
    (3k-1)x+2ky-k+5=0
    Suggerimento: cerca di “manipolare” l’equazione che ti è stata fornita in modo da ottenere quella principale del fascio proprio con le due rette generatrici. Intersecale ed avrai il centro.
  4. Scrivi l’equazione del fascio proprio di centro C(2;4)

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