Equazioni Logaritmiche

Nella lezione di matematica di oggi vedremo come affrontare problemi ed esercizi con i logaritmi. L’argomento di oggi infatti sono le equazioni logaritmiche. Come sempre troverai schemi e formule per renderti tutto più facile. Iniziamo subito.

Definizione

Come si risolvono le equazioni logaritmiche

Esercizi Svolti


Quali sono le equazioni logaritmiche?

Ovviamente prima di partire ti consigliamo di andarti a riguardare le proprietà dei logaritmi. E’ impossibile pensare di risolvere equazioni logaritmiche e disequazioni senza sapere neanche cosa sono i logaritmi.

La definizione è molto semplice: un’equazione logaritmica è tale quando l’incognita x compare anche all’argomento di uno o più logaritmi.

equazioni-logaritmiche-definizione
Equazioni Logaritmiche – Esempi facili

Come puoi vedere è possibile dover risolvere anche le equazioni logaritmiche con base diversa. Non spaventarti, ti daremo un aiuto su tutte le domande che avrai in mente, ma procediamo con ordine.

Come si risolvono le equazioni logaritmiche?

Per risolvere un’equazione logaritmica si devono stabilire le Condizioni di Esistenza (se ti ricordi ne abbiamo già parlato anche durante le lezioni sulle equazioni fratte e sui irrazionali). E’ necessario imporre ogni argomento di logaritmo positivo (cioè maggiore e uguale di 0) e poi si deve cercare di porre l’equazione nella forma:

risolvere-equzioni-logaritmiche

In questo modo potrai risolvere le equazioni anche più difficili. Nel caso più generale potrai provare ad ottenere queste che sono chiamate equazioni logaritmiche elementari:

soluzione-equazioni-logaritmiche

Trucco per ricordarti come risolvere le equazioni con i logaritmi

Noi sai come ci ricordiamo come procedere? Semplicemente ogni volta che abbiamo un esercizio con un logaritmi ci muoviamo trasformando la traccia in una potenza, la cui base è proprio la base del logaritmo. Cioè per chiarirti le idee, ecco il nostro consiglio:

come-risolvere-equazioni-logaritmiche

Sfruttando la definizione dei logaritmi possiamo così risolvere tutti gli esercizi facili o difficili che siano.

Equazioni logaritmiche – esempi svolti

somma-equazioni-logaritmiche

In questo primo esempio abbiamo un’equazione logaritmica con le basi uguali. Per portarci al caso più semplice in cui abbiamo 1 logaritmo a destra e 1 a sinistra è necessario risolvere la somma. Ti ricordi come si fa? Tra le nostre lezioni trovi molti esercizi sui logaritmi su cui poter approfondire l’argomento. Ricorderai che si ottiene una moltiplicazione, per cui:

equazione-logaritmica-esempio

Come puoi vedere abbiamo risolto sulla destra le condizioni di esistenza per giungere ad ottenere un sistema di disequazioni di primo grado. Sulla sinistra invece ho ottenuto una semplice equazione di secondo grado.

Lasciamo a te la risoluzione di quest’ultima, da svolgere con il metodo solito del DELTA o con qualsiasi altro metodo ritieni più opportuno. Le due soluzioni sono:

x=-3 (non accettabile per le condizioni di esistenza)

x=1 (accettabile)

Esercizio risolto sulle equazioni logaritmiche

Vediamo un secondo esempio meno facile del precedente.

equazioni-logaritmiche-risolte

Poiché il logaritmo in base 3 di 9 è uguale a 2 e la differenza tra i logaritmi diventa una divisione, allora possiamo scrivere:

esercizio-risolto-logaritmiche

A questo punto abbiamo ottenuto un’equazione irrazionale. Intanto non avendole segnate sopra ti riportiamo qui il risultato delle condizioni di esistenza. x>-1

Possiamo ora elevare al quadrato ed ottenere, dopo aver calcolato il minimo comune multiplo, la seguente equazione:

soluzione-logaritmiche

Equazioni logaritmiche con basi diverse

equazioni-logaritmiche-base-diversa

Attenzione a questo esercizio risolto: abbiamo la base di un argomento con l’incognita. Questo significa che dovremo aggiungerlo alle condizioni di esistenza. Per avere significato, infatti, l’espressione deve essere:

condizioni-esistenza-logaritmiche

L’equazione possiamo a questo punto trasformarla in:

equazioni-logaritmi-secondo-grado

Come puoi vedere abbiamo praticamente ottenuto un’equazione logaritmica di secondo grado (dopo essere passato per le equazioni logaritmiche fratte). Sostituiamo il logaritmo con una nuova variabile, in questo caso la y, e risolviamo con il metodo del delta, come sempre. Otteniamo due soluzioni, ma ricordiamoci che abbiamo calcolato y non x. Per cui risostituiamo:

soluzione-logaritmiche-secondo-grado

A questo indirizzo troverai altri esercizi svolti sulle equazioni logaritmiche. Prova ad esercitarti, il nostro staff è a tua disposizione in caso di problemi o dubbi. CONTATTACI e risponderemo ad ogni tua domanda!

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