Equazioni esponenziali – spiegazione, regole ed esercizi

In questa lezione di matematica troverai una spiegazione sulle equazioni esponenziali completa e semplice allo stesso tempo. Vedremo esercizi e problemi svolti e con soluzione.

INDICE


Quali sono? – La definizione

Quando ci troviamo un’espressione matematica in cui l’incognita x compare all’esponente, per definizione, abbiamo un’equazione esponenziale. La forma più semplice, detta normale è la seguente:

equazioni-esponenziali

Dove a>0, a diverso da 1 e quindi b>0. Quest’ultima considerazione è particolarmente importante perché se la base è positiva anche il risultato dell’operazione sarà necessariamente positiva.

La prima domanda che ci pongono i nostri studenti é: bene, ma allora qual è la differenza tra gli esponenziali e le potenze? Mentre queste ultime, all’esponente hanno soltanto dei valori generalmente numerici, nelle equazioni esponenziali il valore x da calcolare si trova proprio nell’esponente.

Come si risolvono le equazioni esponenziali?

Il primo passo è ovviamente di non lasciarsi prendere dal panico solo perché abbiamo una x all’esponente. La vera difficoltà di questi esercizi non sta tanto nel risolvere l’equazione in sé, quanto ricondurci alla forma base. Vedremo più dettagliatamente negli esercizi gli eventuali calcoli da eseguire. Per ora ci basti sapere che, una volta arrivati alla forma base, basta applicare il logaritmo con la stessa base dell’argomento a primo e secondo membro. Inoltre esponenziali e logaritmiche hanno lo stesso metodo di risoluzione, per cui capito questo non avrai più difficoltà in futuro.

risolvere-equazione-esponenziale

Come puoi vedere abbiamo applicato le regole dei logaritmi (è meglio ripassarle se non le ricordi!). Può capitare quando svolgi degli esercizi sulle equazioni esponenziali, che il risultato non sia lo stesso: ti consigliamo di guardare bene la base del logaritmo perché potrebbe essere necessario cambiarne la base (se non ricordi come fare, ecco la lezione sul cambiamento di base dei logaritmi).

E se ci sono due esponenziali nello stesso esercizio?

Nel caso in cui non riesci a ricondurti alla forma base perché ti trovi costretto a risolvere, nello stesso problema, due esponenziali come ad esempio 3^x=4^2x, allora come si procede? Ecco i due casi a cui puoi far riferimento:

  • Equazioni esponenziali con la stessa base

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In questo primo e più semplice caso, essendo le basi uguali, potrai passare direttamente all’uguaglianza degli esponenti, senza neanche dover usare i logaritmi. Si tratta spesso di esercizi elementari che hanno bisogno di pochi passaggi per essere risolti. Ciò nonostante massima attenzione a sviluppare correttamente tutti i passaggi.

  • Equazioni esponenziali a base diversa

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In questo secondo caso, più generico, è necessario fare uso dei logaritmi. La soluzione che hai visto in questa formula generale, in realtà non è l’unica. Le equazioni esponenziali si possono risolvere infatti imponendo anche basi differenti. Nella spiegazione generale che hai appena visto abbiamo applicato il logaritmo decimale, ma nulla ci avrebbe vietato di scrivere un log in base a. Il risultato sarebbe stato diverso? Assolutamente no: sarebbe cambiato solo il coefficiente.

Non preoccuparti infine della presenza di frazioni in questo tipo di esercizi: i logaritmi non sono difficili da usare, basta applicare solo le relative regole quando e dove necessario.

Esercizi svolti ed esempi

La spiegazione e le regole sulle equazioni esponenziali sono già finite! Come hai potuto vedere non si tratta di nulla di particolarmente complesso: è fondamentale però conoscere le regole delle potenze e quelle dei logaritmi, senza le quali diventa tutto più difficile. A questo punto, per darti un aiuto maggiore e spiegare meglio i concetti fino ad ora espressi, vediamo di risolvere assieme qualche esercizio sugli esponenziali.

Risolvere le equazioni esponenziali seguenti:

equazioni-esponenziali-falici

Come puoi vedere in questo primo esempio svolto, la prima cosa da fare è cercare di capire se siamo in presenza di un’equazione esponenziale con le stesse basi. In questo caso l’esercizio diventa molto più facile: solo ricordando le regole e gli esercizi sulle potenze (in particolare sulle potenze negative) siamo riusciti a passare da 1/2 a 2 semplicemente mettendo un segno meno all’esponente. Il resto del problema non è difficile, si tratta di semplici passaggi algebrici.

traccia-esempio-esponenziali

In questo secondo esercizio appare subito evidente che la base non è la stessa: si tratta di un’equazione esponenziale con basi diverse per cui dovremo necessariamente usare i logaritmi. Ci sono due modi di procedere: usare i logaritmi naturali (cioè con il numero di Nepero) o decimali, oppure usare la stessa base degli esponenziali, che è la strada che noi preferiamo. Vediamo come si risolve:

esercizio-esponenziali-basi-diverse

Come puoi osservare l’unica vera difficoltà è ricordarsi di applicare le regole dei logaritmi all’interno dell’equazione esponenziale. Per il resto valgono le regole già viste più volte per le equazioni di primo grado. Cioè risolte le moltiplicazioni, gli elementi con l’incognita vanno a sinistra mentre i termini noti a destra. Infine sono state applicate le proprietà di somma e differenza dei logaritmi. Senza dilungarci in ulteriori spiegazioni, proseguiamo questa volta con le equazioni esponenziali di secondo grado (dette anche del secondo tipo).

equazioni-esponenziali-2-tipo

Non esiste altro metodo per risolvere le equazioni esponenziali del secondo tipo: si pone l’esponenziale stesso pari ad una seconda incognita – y nell’esempio – e si calcolano le radici dell’equazione di secondo grado -anche con il metodo del delta. Una volta trovate y1 e y2, le due soluzioni, si va sostituire di nuovo l’esponenziale completando l’esercizio. L’ultimo esempio che ti mostriamo, infine, riguarda i sistemi di equazioni esponenziali, in cui compaiono cioè 2 incognite.

equazioni-esponenziali-a-2-incognite

In questo tipo di esercizio non c’è nulla di particolarmente difficile. Abbiamo risolto e semplificato le equazioni in maniera indipendente e poi usato la regola dei sistemi di equazioni – come il metodo di sostituzione. La regola non sarebbe cambiata se ci fossero state 3 incognite e quindi tre equazioni esponenziali da risolvere.

Dopo aver visto degli esempi svolti ed esercizi con soluzione, prova ora ad esercitarti da solo. Troverai tante tracce interessanti a questo PDF. C’è un’interessante raccolta di esercizi: prova a risolverli tutti! Solo così puoi fare una verifica di quanto hai realmente appreso in questa lezione. Il nostro staff ovviamente è a tua disposizione, per aiutarti anche a risolvere i tuoi compiti a casa. CONTATTACI, per qualsiasi dubbio!

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