Equazioni di primo grado, spiegazione ed esempi svolti

In molti degli esercizi di matematica che dovrai risolvere anche in futuro, sarà fondamentale sapere come risolvere le equazioni. Il punto di partenza è proprio nella definizione delle equazioni di primo grado.


Gli argomenti della lezione

Introduzione alla spiegazione sulle equazioni di primo grado

Differenza tra identità ed equazioni

Che cos’è un’equazione di primo grado: spiegazione completa

Regole delle equazioni di primo grado

Guida sulle equazioni di primo grado, passo passo

Esercizi sulle equazioni di primo grado


Introduzione

Una volta capito bene come risolvere gli esercizi con i polinomi e “lavorare” con le scomposizioni di polinomi, siamo finalmente pronti per passare alle equazioni di primo grado con frazioni ed intere. Vedremo oggi, soprattutto con molti esempi, che cosa sono le equazioni di primo grado, perché si chiamano così e daremo una spiegazione a quelli che sono i dubbi di molti studenti. Iniziamo subito.

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Identita’ ed equazioni

Prima di rispondere e questa domanda, facciamo una breve premessa, dando una definizione di identità:

Si chiama identità l’uguaglianza tra due espressioni algebriche verificata sostituendo alle lettere qualsiasi valore numerico.

Ricordi la lezione sul calcolo letterale? Parlammo di espressioni algebriche in cui comparivano le lettere. Un’identità è formata da un’espressione letterale a sinistra, il simbolo uguale e una seconda espressione letterale a destra. Inoltre, qualsiasi numero venga assegnato alle lettere, le due espressioni avranno sempre lo stesso risultato.

Facciamo un esempio pratico:

Equazioni di primo grado

Se proviamo ad assegnare i valori a=1 e b=2, il risultato sarà:

Equazioni di primo grado 1

L’uguaglianza sarà verificata qualsiasi valore noi attribuiamo alle lettere.

Che cos’è un’equazione di primo grado

Nel momento in cui l’uguaglianza è verificata solo per alcuni valori attribuiti alle lettere, allora non rientro più tra le identità, ma tra le equazioni!

Per cui possiamo dare una definizione di equazione:

Si chiama equazione di primo grado, l’uguaglianza tra due espressioni algebriche verificata solo attribuendo alle lettere particolari valori, che si chiamano soluzioni. Il grado massimo del polinomio è 1.

Diciamo inoltre che si definisce PRIMO MEMBRO tutto ciò che sta a sinistra dell’uguale, mentre a destra ho il SECONDO MEMBRO.

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Sostanzialmente è questa la spiegazione sulle equazioni di primo grado. Se non ti è ancora chiaro che cos’è un’equazione di primo grado, facciamo un esempio:

Equazioni di primo grado 3

In questa equazione di primo grado ho una sola incognita – cioè una lettera di cui devo calcolare il valore – e devo fare in modo che, assegnando un valore alla x, il primo membro sia uguale al secondo membro. Cioè il risultato deve essere 13.

Anche se non sappiamo ancora bene il perché, l’unico valore che posso dare alla x per fare in modo che il primo membro sia pari a 13 è 5. Infatti:

Equazioni di primo grado 4

Puoi verificare da solo che qualsiasi altro valore io attribuisco alla x, il risultato non si troverà mai!

Ecco quindi qual è la spiegazione per le equazioni di primo grado: sono uguaglianze che si verificano solo attribuendo particolari valori alle incognite presenti.

Si dice di primo grado, infine, perché il grado massimo del polinomio – cioè l’esponente massimo dell’equazione, è pari a uno. Negli esempi qui sotto puoi vedere tre equazioni praticamente identiche: cambia solo l’esponente. Avrò così un’equazione di quarto grado, di terzo grado e di secondo grado.

Equazioni di primo grado 5

Equazioni di primo grado 6

Equazioni di primo grado 7

Quante sono le Soluzioni delle equazioni?

Se più che una spiegazione sulle equazioni di primo grado stai cercando un trucco per risolverle o almeno per sapere quante soluzioni ha il tuo esercizio, ecco cosa ricordare. Il grado corrisponde anche al numero di soluzioni. Cioè per le equazioni di primo grado ho una sola soluzione da calcolare, per quelle di secondo grado ho due soluzioni, eccetera…

Equazioni di primo grado con frazioni e intere

A seconda della posizione dell’incognita – in genere indicata con la lettera x – possiamo avere equazioni di primo grado intere o fratte. Nel primo caso la x si troverà solo al numeratore. Nelle equazioni di primo grado fratte, invece ho l’incognita anche al denominatore. Queste ultime, tuttavia le studieremo in maniera più approfondita nella lezione sulle equazioni fratte di primo grado.

Regole delle equazioni

Per risolvere le equazioni di primo grado, ma in generale di qualsiasi grado, bisogna ricordare due semplici regole:

  1. Principio di Addizione e Sottrazione: aggiungendo o sottraendo una stessa quantità ad entrambi i membri dell’equazione il risultato non cambia.
  2. Principio di Moltiplicazione e Divisione: Moltiplicando o dividendo entrambi i membri dell’equazione per una stessa quantità il risultato non cambia.

Le due regole viste sono fondamentali per risolvere le equazioni di primo grado. Possiamo capire il perché risolvendo un semplice esempio:

Equazioni di primo grado regole

Ricordiamoci questo semplice trucco per risolvere le equazioni di primo grado:

Al primo membro devono restare solo le incognite con i rispettivi coefficienti, cioè i numeri davanti la x. I termini noti, cioè i numeri senza la x, vanno tutti al secondo membro.

Per ottenere ciò applichiamo la proprietà dell’addizione e sottrazione all’esempio visto:

Equazioni di primo grado regole 1

Per eliminare il termine noto a primo membro (cioè il +3) ho sottratto per la sua stessa quantità. In questo modo, poiché +3-3 fa 0, a primo membro mi resta solo la x. Ovviamente la sottrazione l’ho fatta anche a destra…

Equazioni di primo regole 2

Guardiamo bene la differenza tra la traccia e il risultato appena ottenuto. E’ come se avessi spostato il termine noto a destra cambiando il segno. Abbiamo scoperto una cosa importantissima proprio dalla proprietà dell’addizione e sottrazione:

Qualsiasi elemento (che si somma o si sottrae) può essere spostato da un membro all’altro semplicemente cambiandolo di segno! Se c’è “meno” metto “più” e viceversa.

Così facendo siamo riusciti ad isolare la x a sinistra da sola con il suo coefficiente (cioè il 2). Risolvendo la sottrazione a secondo membro ho:

Equazioni di primo grado regole 2.1

A questo punto per isolare la x anche dal suo coefficiente, divido per due sia primo che secondo membro:

Equazioni di primo grado regole 2.2

Ho scoperto che il 2 che era a sinistra moltiplicato per la x è passato a destra con il segno diviso! Ecco così la seconda regola per risolvere le equazioni di primo grado lineari:

Qualsiasi elemento, che si moltiplica o divide, può essere spostato da un membro all’altro cambiando il segno! Se c’è “PER” metto “DIVISO” e viceversa.

Questa regola vale ovviamente anche per gli esercizi sulle equazioni di primo grado con le frazioni e non solo per le intere.. Il “per” diventa “diviso” e viceversa, abbiamo detto. Nelle frazioni i numeri a denominatore possono essere passati all’altro membro mettendoli a numeratore e viceversa.

Le regole da apprendere per risolvere le equazioni di primo grado sono terminate. Se sei un po’ confuso è normale, dopo tanta teoria, ma vedremo tra poco che risolvere gli esercizi sulle equazioni di primo grado è estremamente semplice e soprattutto meccanico: una volta capito il meccanismo gli esercizi si risolvono tutti allo stesso modo.

Come risolvere le equazioni di primo grado passo passo

Vediamo ora un paio di semplici guidati e commentati per fare chiarezza. Risolvere le seguenti equazioni di primo grado:

Equazioni di primo grado esempi 1

  1. Usando la regola dell’addizione e sottrazione, sposto tutte le incognite a sinistra e i termini noti a destra. Nello spostamento ricordiamoci di cambiare i segni!
    Equazioni di primo grado esempi 1.1
  2. Sommo a questo punto tutti i termini simili – cioè con la stessa parte letterale, se hai dubbi rileggi un attimo la lezione sui monomi.
    Equazioni di primo grado esempi 1.3
  3. Ho ottenuto un’equazione di primo grado nella sua forma base, cioè ax=b. Sposto il coefficiente della x a destra facendolo diventare un denominatore e ho risolto.
    Equazioni di primo grado esempi 1.4

Passiamo al secondo esercizio. Stessa traccia, ecco l’equazione da risolvere:

Equazioni di primo grado esempi 2

Dato che c’è una frazione c’è solo un passaggio in più da aggiungere: il calcolo del minimo comune multiplo, per cui:

  1. Calcolo il minimo comune multiplo e risolvo normalmente le frazioni. Quindi minimo comune multiplo diviso denominatore e moltiplico per numeratore:
    Equazioni di primo grado esempi 2.2
  2. Una volta eseguito il calcolo del minimo comune multiplo, posso eliminare entrambi i denominatori.
    Equazioni di primo grado esempi 2.3
  3. Siamo arrivati al primo punto dell’esercizio precedente. Sposto tutti i termini con la x a sinistra, tutti i termini noti a destra.
    Equazioni di primo grado esempi 2.4
  4. Sommo algebricamente i termini simili e mi riconduco alla forma base delle equazioni di primo grado (cioè ax=b). Eventualmente il segno meno a primo membro va spostato a secondo membro.
    Equazioni di primo grado esempi 2.5
  5. Trasporto il coefficiente della x al denominatore del secondo membro e ho completato l’esercizio.
    Equazioni di primo grado esempi 2.6

Concludiamo facendo il punto della situazione. In questa lezione abbiamo appreso che cos’è un’equazione di primo grado e come risolvere i primi più semplici esercizi sulle equazioni con le frazioni, (non quelle fratte di cui parleremo in seguito). A questo punto non resta che esercitarsi e passare agli esercizi sulle equazioni di primo grado.

Per riferimenti bibliografici ti rimandiamo al testo Matematico Bianco – Equazioni e Disequazioni di Primo Grado.

Se non ti è chiaro qualcosa delle lezione, se hai dubbi o difficoltà, restiamo come sempre a tua disposizione. Contattaci e risolveremo ogni tuo problema.

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