Equazioni di primo grado fratte – esercizi svolti

Nella lezione di oggi vedremo esercizi di matematica di approfondimento, studiando il caso particolare in cui dobbiamo risolvere le equazioni di primo grado fratte. Cosa succede quando abbiamo frazioni con l’incognita al denominatore?


Introduzione

Nelle precedenti lezioni abbiamo imparato come risolvere le equazioni di primo grado. Complichiamo ulteriormente gli esercizi da svolgere introducendo il concetto di equazioni di primo grado fratte. In realtà cambia ben poco rispetto al caso precedente, a patto di iniziare a comprendere bene un unico concetto: la condizione di esistenza.

Cosa sono le condizioni di esistenza?

Le condizioni di esistenza di una funzione le potrai studiare in maniera approfondita nel programma di analisi. Oggi vedremo soltanto uno spunto per risolvere le equazioni di primo grado fratte.

La prima domanda che ci si pone è: cosa sono le condizioni di esistenza e a che servono? Per rispondere è necessario fare un esempio molto pratico che puoi fare da solo a casa con la calcolatrice.

Prova infatti a dividere un qualsiasi numero per 0. Ad esempio digita sulla tua calcolatrice 7:0 … Quanto fa? Che risultato hai per questa divisione? Probabilmente stai pensando ora che la tua calcolatrice si sia guastata. Non preoccuparti, se ti segnala errore, è normale. Questo perchè

nessun numero può essere diviso per 0. Il risultato è impossibile!

Da questa semplice osservazione possiamo spostarci sulle frazioni. Dato che le frazioni non sono altro che divisioni scritte in maniera diversa, allora appare chiaro che

per evitare un risultato impossibile, al denominatore non deve esserci mai 0!

Quindi la condizione di esistenza di un’equazione di primo grado fratta è una condizione che mi garantisce che l’equazione non sia impossibile.

Condizioni di esistenza di un’equazione di primo grado fratte

Tornando al nostro argomento principale, cioè le equazioni di primo grado fratte, è fondamentale calcolare immediatamente la condizione di esistenza, così da assicurarci che il nostro esercizio sia realmente fattibile. Per calcolare le condizioni di esistenza bisogna imporre il denominatore diverso da 0.

Questa condizione va risolta normalmente con le regole delle equazioni di primo grado viste nelle scorse lezioni. Ricordiamoci alla fine che la condizione di esistenza indica dei risultati che sono impossibili, per cui elimineremo dalle soluzioni finali calcolate quelle che coincidono con le condizioni di esistenza.

Per fare un piccolo esempio:

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Dall’equazione di primo grado fratta in esempio abbiamo così calcolato la condizione di esistenza: x deve essere diverso da -1. Questa uguaglianza andrà eventualmente eliminata dalla soluzione finale.

A questo punto, ricordandomi come si calcola il minimo comune multiplo di polinomi, posso procedere scrivendo che mcm = x+1, per cui

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Le condizioni di esistenza avremmo potuto anche svilupparle a questo punto, cioè in corrispondenza del calcolo del minimo comune multiplo. Dato che comunque abbiamo già esplicitato le C.E. (condizioni di esistenza), posso eliminare i denominatori e seguire le tradizionali regole sulle equazioni di primo grado.

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Come sempre porto tutte le incognite a sinistra e tutti i termini noti a destra. Ottengo quindi:

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Se come risultato fosse uscito x=-1 avremmo dovuto indicare: soluzione impossibile per le condizioni di esistenza e concludere così l’esercizio.

Esercizi svolti sulle equazioni di primo grado fratte

Proviamo ora a risolvere assieme 3 equazioni di primo grado fratte. La traccia è:

Risolvere le seguenti equazioni fratte a coefficienti numerici:

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Quando ci troviamo di fronte ad equazioni fratte dove al denominatore ci sono termini di secondo grado – ma anche di terzo, quarto e così via – cerchiamo sempre di usare le regole valide per la scomposizione di polinomi. L’obiettivo è ottenere denominatori più o meno simili in modo di ridurre drasticamente i calcoli necessari per risolvere l’equazione.

In questo caso possiamo utilizzare la messa in evidenza totale nella prima e nell’ultima frazione, mentre nella seconda, essendoci una sottrazione di due termini al quadrato, posso scomporre come il prodotto di una somma per una differenza. Se non ricordi queste regole ti consigliamo di rivedere la lezione sulla scomposizione di polinomi.

Esercizio 1 –

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A questo punto posso calcolare il mcm tra i polinomi considerando tutti i termini in parentesi e fuori, presi una sola volta con il massimo esponente.

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A questo punto possiamo scrivere le condizioni di esistenza. Ovvero:

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Risolviamo questa semplice equazione ricordandoci la regola della moltiplicazione:

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Posso così risolvere le condizioni di esistenza:

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Dovremo quindi verificare che tra le soluzioni finali non ci siano questi tre risultati. Torniamo ora al minimo comune multiplo:

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Avendo già esplicitato le condizioni di esistenza, possiamo eliminare i denominatori. Considerando solo i numeratori ottengo la semplice equazione:

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Poiché a sinistra e destra ho lo stesso termine cioè una x, posso eliminarle e scrivere:

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La soluzione è accettabile perché non coincide con le condizioni di esistenza.

Come abbiamo potuto vedere l’unica vera difficoltà delle equazioni di primo grado fratte è, oltre alla scrittura delle condizioni di esistenza, il calcolo del minimo comune multiplo tra polinomi.

Esercizio 2 –

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In questo nuovo esercizio sulle equazioni di primo grado, l’unica difficoltà che abbiamo aggiunto è una semplice parentesi tonda con una moltiplicazione. Risolviamola subito:

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Essendoci tutti termini di primo grado, non è necessario effettuare la scomposizione di polinomi. Per cui posso calcolare direttamente il mcm che in questo caso è banalmente x+3. Individuo così subito le condizioni di esistenza e poi vado avanti con l’esercizio.

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Avendo calcolato le condizioni di esistenza posso eliminare i denominatori ed iniziare a risolvere le prime operazioni di addizione e moltiplicazione ai due membri delle equazione fratta.

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La soluzione è accettabile perché diversa dalle condizioni di esistenza.

Esercizio 3 –

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L’ultimo esercizio non presenta particolari difficoltà. Non lasciamoci infatti distrarre dal fatto che compare un termine di terzo grado. Dato che stiamo imparando a risolvere le equazioni di primo grado fratte, andrà certamente via durante i calcoli. Iniziamo risolvendo il quadrato di binomio:

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A questo punto come sempre calcoliamo in mcm che in questo caso banalmente è pari a x+8 e, sulla destra del foglio, ci riportiamo le condizioni di esistenza.

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Risolviamo a questo punto la semplice moltiplicazione tra polinomi che abbiamo individuato al secondo membro:

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Elimino tutti i termini che compaiono uguali al primo e al secondo membro o che troviamo addizionati e sottratti allo stesso membro. Per cui otteniamo:

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Esercizi da risolvere

Vi forniamo ora un elenco di esercizi sulle equazioni di primo grado fratte che puoi provare a risolvere da solo. Ovviamente siamo a tua disposizione in caso di problemi: contattaci.

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Se vuoi continuare ad allenarti, ti consigliamo gli esercizi sulle equazioni fratte che puoi trovare su questa pagina dell’Università di Bologna. In alternativa troverai tanti altri esercizi sul libro Matematica Bianco – Equazioni e Disequazioni di Primo Grado.

Tracce e simulazioni di compiti in classe

Puoi trovare una simulazione di compito in classe sulle equazioni di primo grado fratte a questo link o una traccia di un compito a questo link.

Nelle prossime lezioni introdurremo i sistemi di equazioni di primo grado, vedremo quali sono i metodo principali di risoluzione e quali userai per svolgere gli esercizi di matematica a scuola.

One thought on “Equazioni di primo grado fratte – esercizi svolti

  1. Commento sicuramente positivo. Apprezzata anche l’efficienza e la tempestività a seguito della mia richiesta di introdurre altro materiale relativo alle equazioni frazionarie di primo grado così da allenarsi in previsione della verifica finale. Se si potesse avere anche il risultato delle esercitazioni pubblicate sarebbe ottimale.

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