L’equazione della circonferenza in geometria analitica

In questa lezione vedremo tutto ciò che c’è da sapere sull’equazione della circonferenza. Studieremo le sue caratteristiche e vedremo, con degli approfondimenti interamente dedicati agli studenti, come risolvere tutti gli esercizi sulla circonferenza, in maniera semplice e discorsiva.

Definizione

La circonferenza per definizione è il luogo geometrico dei punti equidistanti dal centro.

Analizzando la definizione di circonferenza appena enunciata e ricordando quanto appreso nei programmi più elementari sulla geometria studiata alle scuole medie, tutti i punti della circonferenza hanno la stessa distanza dal centro e tale distanza si chiama raggio. Prima di vedere la formula della circonferenza, vediamo come ci si arriva in maniera semplice.

Dimostrazione della formula della circonferenza

Abbiamo detto che la distanza di un generico punto P di coordinate generiche x e y dal centro C di coordinate α e ß (alfa e beta) deve essere pari al raggio. Quindi i nostri dati sono:

  • P(x;y) – punto generico che appartiene alla circonferenza
  • C(α;ß) – centro della circonferenza
  • r – raggio della circonferenza

Calcolo la distanza tra due punti PC e la impongo pari al raggio.

equazione-della-circonferenza-dimostrazione

A questo punto sviluppo il quadrato di binomio presente nelle due parentesi per ottenere il seguente svolgimento.

dimostrazione-formula-circonferenza

Quella che vedi è l’equazione circonferenza, formula molto importante da ricordare e da cui poi ricavare raggio e centro grazie alla tabella che stai per vedere.

Le formule circonferenza riassunte in una tabella

Nei passaggi intermedi abbiamo dimostrato anche quanto vale il raggio e quali sono le coordinate del cerchio. Per cui possiamo andare ad inserire, a questo punto, tutte le principali formule sulla circonferenza in un unica tabella.

tabella-formule-circonferenza

La formula 1) è l’equazione delle circonferenza generica che utilizzeremo nella maggior parte degli esercizi. La numero 2) è la formula della circonferenza dati il raggio e il centro. Noti infatti centro e raggio è sufficiente andare a sostituire i dati all’interno dell’equazione, risolvere i quadrati nelle parentesi e mettere in ordine i vari monomi che compongono l’equazione.

La formula 3) indica che cos’è il centro della circonferenza e quali sono le sue coordinate, mentre la formula 4) mi permette di calcolare il raggio della circonferenza.

Equazione circonferenza, caratteristiche

Una domanda che spesso crea problemi agli studenti è come riconoscere l’equazione della circonferenza? Cioè come si fa a stabilire se un’equazione rappresenta una circonferenza oppure un’altra generica curva? Le condizioni che devono verificarsi sono le seguenti:

  • l’equazione è di 2° grado, sia nell’incognita x che y
  • prova a calcolare il raggio della circonferenza. Se è uguale a 0 oppure minore di 0, certamente non si tratta di una circonferenza! (utilizza questo criterio in tutti gli esercizi in cui ti viene chiesto di verificare se una determinata equazione è una circonferenza)
  • Infine guarda i coefficienti dei termini di secondo grado. Devono essere uguali, altrimenti potresti essere di fronte all’equazione dell’iperbole o dell’ellisse.

A questo punto analizziamo assieme quelli che sono i casi più ricorrenti e le difficoltà più frequenti nel risolvere gli esercizi sulla circonferenza.

Circonferenza passante per 3 punti

Mentre per gli esercizi sulla retta nel piano cartesiano i parametri da calcolare erano 2, cioè m e q, nell’equazione della circonferenza i parametri sono a, b e c, quindi sono 3.

Ciò che devi ricordare è che la condizione di una circonferenza passante per un punto: quest’ultimo infatti appartiene alla circonferenza se sostituendo le sue coordinate nell’equazione della curva ottengo un’identità (cioè un numero uguale a se stesso, per esempio 2=2).

Ciò che devi fare per risolvere questo tipo di esercizi è quindi imporre la condizione di appartenenza dei tre punti in tre momenti differenti. Otterrai in questo modo 3 equazioni, dove le incognite sono a, b e c. Ti basta mettere a sistema ed avrai 3 equazioni in 3 incognite. Risolvi a questo punto il sistema di equazioni come ritieni più opportuno e arriverai presto alla soluzione.

Formula circonferenza passante per 2 punti e raggio noto

Teniamo sempre presente che per trovare l’equazione di una circonferenza abbiamo bisogno 3 dati, dato che le incognite sono tre (a, b e c). Con l’appartenenza di due punti abbiamo i primi due dati, mentre la dimensione del raggio ci da l’ultimo dato di cui abbiamo bisogno. Come risolvere questo esercizio? Si impone per i due punti la condizione di appartenenza alla retta, cioè si sostituiscono le coordinate all’interno dell’equazione generica della circonferenza. Otteniamo così due equazioni che andremo a mettere a sistema con la formula per calcolare il raggio, cioè r uguale la radice di a al quadrato diviso 4, ….

Retta passante per 1 punto e centro noto

Si tratta di una tipologia di esercizio praticamente identica alla precedente vista. Abbiamo quindi 3 incognite: a, b e c. Ci servono 3 dati dal problema, cioè dalla traccia. Il primo è la condizione di appartenenza del punto alla circonferenza, per cui sostituisco le sue coordinate all’interno dell’equazione generica della circonferenza. Il fatto di conoscere il centro, inoltre, ci permette di completare l’esercizio. Considerando infatti che le coordinate del centro sono x=-a/2 e y=-b/2, mettiamo tutto a sistema e risolviamo. E’ molto più facile da fare che da dire, per cui gli esercizi che ti proponiamo…

Vai agli esercizi sulla circonferenza per 1 punto e centro noto

Retta tangente alla circonferenza

Si tratta di una tipologia di esercizio molto frequente e che è importante conoscere perché si ripeterà identica anche quando parleremo delle altre curve della geometria analitica. Abbiamo già trattato, nelle precedenti lezioni, delle intersezioni tra 2 retteQui il discorso è praticamente analogo: si mettono a sistema l’equazione della retta e della circonferenza per ottenere quindi le coordinate del punto in comune.

retta-tangente-alla-circonferenza

Qui la situazione è leggermente differente anche se non cambia il metodo. Mettendo a sistema l’equazione della circonferenza e della retta possiamo avere tre possibili casi, come nel grafico:

  • il sistema ammette 2 soluzioni – retta e circonferenza sono secanti
  • il sistema ammette 1 soluzione – retta e circonferenza sono tangenti
  • il sistema non ammette soluzioni – la retta è e esterna alla circonferenza.

Intersezione tra circonferenze

Cambiano le figure da intersecare ma il metodo resta sempre lo stesso: si mettono a sistema le equazioni delle due circonferenze e si risolve generalmente con il metodo della sottrazione. In questo modo si riuscirà a semplificare notevolmente i calcoli ed arrivare alle tre possibili soluzioni:

  • il sistema ammette 2 soluzioni – le due circonferenze sono secanti
  • il sistema ammette 1 soluzione – le due circonferenze sono tangenti
  • il sistema non ammette soluzioni – le due circonferenze sono esterne tra loro.
Vai agli esercizi sull’intersezione tra 2 circonferenze

Se all’interno di questa lezione non sei riuscito a trovare le risposte che cercavi, contattaci! Il nostro staff è a tua completa disposizione per chiarimenti o per aiutarti a risolvere gli esercizi su cui hai avuto problemi. E dopo aver studiato, ricordati di lasciarci un feedback nei tuoi commenti, ci aiuterai a crescere a migliorare la qualità dei nostri appunti.

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