Divisioni tra polinomi – come si fanno?

Nella lezione di oggi vedremo come si fanno le divisioni tra polinomi. Partendo dalle divisioni tra polinomi e monomi ci sposteremo poi alle divisioni di due polinomi, con esempi ed esercizi svolti.


Gli argomenti di oggi

Divisioni tra polinomi e monomi

Divisioni tra polinomi, spiegazione passo passo

 Esercizi ed esempi svolti

 Esercizi da risolvere

Esercizi sulle divisioni di polinomi degli studenti


L’argomento di cui parliamo oggi è spesso sottovalutato dagli studenti, ma che può essere molto utile soprattutto negli esercizi di matematica sulle scomposizioni. Per fare le divisioni di polinomi è fondamentale ricordare le regole sulle potenze: quando divido due elementi con coefficienti letterali, gli esponenti si sottraggono.

Divisioni tra polinomi e monomi

La prima regola che analizziamo è la più semplice e ci spiega come si fanno le divisioni tra polinomi e monomi semplicemente applicando la proprietà distributiva della divisione. Così come siamo stati abituati  con le moltiplicazioni tra polinomi, per le divisioni tra polinomi e monomi è sufficiente dividere ciascun termine del polinomio per il monomio.

Vediamo subito un esempio su come si fa la divisione:

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Dividi ogni termine del polinomio per il monomio

In un secondo esercizio vediamo come si fanno le divisioni tra polinomi con frazioni. Non cambia nulla, per risolvere eventuali somme è importante solo che tu ricordi come si calcola il minimo comune multiplo.

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Divisioni tra polinomi con frazioni

E’ importante, quando devi risolvere un esercizio con le frazioni, che fai prima la divisione tra i segni, poi tra i numeri (abbiamo visto nella lezione sulle operazioni tra numeri relativi che si trasforma in divisione “capovolgendo” il divisore) e infine le lettere.

Divisione di polinomi: spiegazione passo passo

Questa regola possiamo dividerla in due parti: le divisioni tra polinomi con resto e senza resto. Si procede innanzitutto ordinando il polinomio in base al suo grado secondo le potenze decrescenti. Vediamo un esempio assieme commentando passo passo:

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Entrambi i polinomi sono già ordinati secondo le potene decrescenti di a. Si inizia dividendo il primo termine del dividendo (cioè 6a al cubo) per il primo del divisore (-3a al quadrato). Aiutiamoci con delle frecce:

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Il risultato della prima operazione va in basso a destra (-2a) e fa parte del quoziente, cioè del risultato finale da ottenere. A questo punto moltiplichiamo questo valore ottenuto (-2a) per i tre monomi del divisore (-3a al quadrato +a e -1) e il risultato lo scriviamo sulla sinistra (cambiato di segno) sotto il polinomio (attenzione a mettere ben in colonna i termini con lo stesso grado).

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A questo punto tiriamo una linea orizzontale e facciamo la somma algebrica tra i termini posti in colonna e l’ultimo termine lo trascriviamo, come puoi vedere in figura:

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Piccolo trucchetto per risolvere le divisioni:  il primo termine risultante dalla somma algebrica sia sempre pari a 0! Se non dovesse trovarsi, c’è qualche errore!

A questo punto si riparte nuovamente come dall’inizio. Cioè si divide il primo termine del nuovo polinomio (-3a al quadrato) per il primo termine del polinomio divisore (-3a al quadrato) …

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Ora nuovamente possiamo moltiplicare il quoziente ottenuto (+1) per ogni monomio del divisore (-3a al quadrato +a e -1) e riscrivere tutto sotto il polinomio (mi raccomando, cambiando il segno!):

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Infine, linea orizzontale e somma algebrica tra i due polinomi messi in colonna per ottenere il quoziente, cioè il risultato della divisione.

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Risultato finale della divisione

Come puoi vedere dalla figura il resto della divisione tra polinomi in questo caso è zero. Se avessimo trovato qualche monomio nella colonna di sinistra allora il resto sarebbe stato diverso da zero. In questo caso la divisione si dice esatta proprio dà resto nullo.

Esercizio svolto

Quella che stiamo per risolvere assieme è una divisione tra polinomi con coefficienti letterali. Ricordati che una delle tue lettere è l’incognita (nel nostro esempio a) mentre l’altra va trattata come se fosse semplicemente un numero. Vediamo come si risolve la divisione tra questi due polinomi:

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Divisioni tra polinomi con resto

Due cose importanti che non abbiamo ancora specificato:

  1. E’ necessario, come detto, mettere in ordine il polinomio con grado decrescente. La cosa importa è che se il grado manca, come nell’esempio, occorre mettere uno 0. Senza questo trucchetto, la regola delle divisioni tra polinomi non funziona e il risultato darà sempre errore.
  2. Quando finisce la divisione? La divisione tra polinomi finisce quando nello spazio riservato al resto  c’è un monomio (o un polinomio) con grado inferiore al divisore. In questo caso è uscito -b alla quarta. Considerato che il polinomio è ordinato in base alla lettera, il grado è quindi 0. Minore del grado del divisore (a+b) che rispetto alla lettera a ha grado 1. Per cui la divisione finisce qui.

Volendo fare la prova della divisione appena svolta è necessario moltiplicare il quoziente per il divisore e si somma a questo il resto: si deve ottenere il dividendo.

Un modo alternativo per risolvere le divisioni tra polinomi è con Ruffini. Analizzeremo tuttavia il metodo di Ruffini in un’altra lezione. Per ora è preferibile continuare a fare pratica con qualche esercizio sulle divisioni tra polinomi.

Esercizi da risolvere

Eseguire le seguenti divisioni:

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Vuoi esercitarti ancora? Ecco alcuni semplici esercizi tra polinomi semplici proposti dall’Università di Bologna. Se hai dubbi o se non riesci a risolvere gli esercizi di matematica che ti sono stati assegnati puoi contattarci. Siamo qui per aiutarti.

Gli esercizi proposti dagli studenti

lezione-di-matematica-pdfIn questo file abbiamo raccolto gli esercizi più difficili sulle divisioni di polinomi che ci sono stati segnalati dagli studenti. Sono risolti e commentati passo passo. Buon lavoro.

One thought on “Divisioni tra polinomi – come si fanno?”

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