Distanza di un punto da una retta, esercizi svolti e dimostrazione

Nella lezione di oggi, vedremo che cos’è e qual è la formula della distanza di un punto da una retta in geometria analitica. Ne analizzeremo la definizione, la formula e risolveremo assieme qualche piccolo esercizio svolto.


Gli argomenti della lezione

Definizione di distanza di un punto da una retta

Esempi ed esercizi svolti

Dimostrazione distanza punto-retta


Definizione di distanza di un punto da una retta

Continuiamo a vedere assieme gli appunti e gli esercizi sulla retta, affrontando un nuovo argomento. Dopo aver studiato già le rette parallele e perpendicolari, possiamo introdurre la definizione di distanza di un punto da una retta:

E’ il segmento che dal punto cade perpendicolarmente sulla retta.

In geometria analitica tutto ciò si traduce in una semplice formula. Dato il punto P e la retta r, allora possiamo dire che la formula della distanza di un punto da una retta è:

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Formula della distanza di un punto da una retta

Questo vuol dire che occorre l’ equazione della retta implicita e i suoi coefficienti a, b e c. A questi bisogna moltiplicare le coordinate del punto P. Non lasciamoci spaventare dal valore assoluto che troviamo al numeratore della formula: significa semplicemente che se il risultato è negativo, dovremo trasformarlo in positivo.

Questo perché la distanza di un punto da una retta in geometria analitica, così come nella matematica in generale, non può essere un numero negativo. Hai mai sentito parlare di una distanza negativa? (es: La stazione dista da qui -500m!! Assurdo…)

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Distanza di un punto da una retta – Esercizi svolti

  1. Calcolare la distanza punto-retta dove P(2,3) e r:x+y-1=0
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    Distanza di un punto da una retta – Esercizi Svolti 1

    L’esercizio n.1 è abbastanza banale, basta sostituire i dati nella formula vista in alto e il problema è risolto. Nella parte finale, vi abbiamo ricordato come si fa a razionalizzare una radice quadrata. Se dovessero esserci problemi su questi calcoli, ti consigliamo di riguardarti la lezione sulle radici.

  2. Calcolare la distanza di P(4,3) da r:y=2x-3
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    Distanza di un punto da una retta – esercizio 2

In questo secondo esercizio siamo partiti dall’equazione in forma esplicita della retta e l’abbiamo trasformata in implicita. Fatto ciò, ci siamo praticamente ricondotti al caso precedente, per cui abbiamo individuato la distanza punto-retta.

Distanza di un punto da una retta – dimostrazione

La dimostrazione della distanza di un punto da una retta non è particolarmente complessa, ma si basa su quanto già studiato in precedenza. In genere non viene richiesta a lezione, ma la riportiamo per completezza per chiunque voglia approfondire.

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Come dimostrare la distanza di un punto da una retta sul grafico

Data la retta generica r:ax+by+c=0, dobbiamo calcolare la distanza dal punto P(x0,y0). Questo vuol dire che dovrà passare una retta perpendicolare alla retta r e passante per P. Nella scorsa lezione abbiamo parlato di retta passante per un punto e abbiamo studiato la formula y-y0=m(x-x0).

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Dimostrazione distanza di un punto da una retta – Passaggio 1

Una volta individuata l’equazione della retta s perpendicolare a r e passante per P, occorre mettere a sistema le due rette e trovare il loro punto di intersezione T. Infine si calcolano la distanza tra i due punti P e T e la dimostrazione è conclusa.

Lasciamo il proseguo della dimostrazione, quindi i puri calcoli, come esercitazione a casa. Restiamo a tua disposizione, tramite il modulo contatti, per dubbi o chiarimenti, o anche per un aiuto per svolgere i tuoi compiti a casa.

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