Disequazioni Irrazionali – schemi, regole ed esercizi svolti

In questa lezione di matematica vedremo come si risolvono le disequazioni irrazionali. Faremo un breve schema con le regole più importanti e poi affronteremo assieme degli esercizi più o meno facili.

Introduzione

Schema Risolutivo Completo

Disequazioni irrazionali con indice dispari

Disequazioni irrazionali con indice pari

Esercizi svolti

Esercizi da risolvere con soluzioni


Introduzione

Le disequazioni irrazionali non sono molto differenti dalle equazioni irrazionali: anche in questo caso abbiamo una o più incognite all’interno dei radicali, ma questa volta abbiamo gli operatori maggiore, minore, maggiore e uguale, minore e uguale.

Gli esercizi sulle disequazioni irrazionali sono però molto differenti in quanto oltre ad elevare ad un’opportuna potenza, vanno considerate le condizioni di esistenza ed imposti dei sistemi di disequazioni.

Schema risolutivo per le disequazioni irrazionali

disequazioni-irrazionali-schema-risolutivo
Disequazioni Irrazionali Tabella

In questo piccolo schema sono presenti le formule sulle disequazioni irrazionali che andrai ad utilizzare per risolvere gli esercizi. Vediamo ora come siamo arrivati a queste formule in maniera semplice e completa.

Disequazioni Irrazionali ad Indice Dispari

E’ il CASO 1 nelle formule che hai visto in alto. Si tratta della formula più semplice visto che è sufficiente elevare solo all’n-esima potenza entrambi i membri della disequazione. In questo modo riusciamo a far sparire i radicali dall’esercizio. Non importa che la disequazione irrazionale abbia il maggiore o il minore o l’uguale, in ogni caso il procedimento è sempre lo stesso.

Disequazioni Irrazionali ad Indice Pari

Se l’indice del radicale è pari dobbiamo distinguere due diversi casi e procedere in maniera differente a seconda del verso della disequazione.

1 – CASO 2

Quello che abbiamo nelle formule generali definito come caso due vede la presenza del segno maggiore (o maggiore e uguale).

In questa circostanza, oltre alla condizione di esistenza del radicale g(x) maggiore e uguale di 0, deve valere f(x)>0 poiché se g è maggiore di 0 ed f è maggiore di g, allora anche f sarà maggiore di 0. E’ così necessario risolvere il sistema di disequazioni.

disequazioni-irrazionali-con-maggiore

2 – CASO 3

Nella disequazioni con i radicali compare stavolta il segno minore. In questo caso è necessario risolvere attraverso l’unione di due sistemi di disequazioni:

disequazioni-irrazionali-minore

Infatti se f(x) è negativo la disequazione di partenza è sicuramente verificata, dato che il radicale è certamente maggiore di un numero negativo. Se f(x) è maggiore o uguale di zero, invece, la disequazione irrazionale è verificata elevando alla potenza n-esima.

Esercizi svolti

  1. Il primo degli esempi che ti proponiamo è molto semplice. Abbiamo indice dispari, per cui non sono necessarie condizioni di esistenza, ma è sufficiente elevare al cubo entrambi i membri della disequazione.

disequazioni-irrazionali-indice-dispari

2. Il secondo esercizio svolto presenta un trucchetto che fino ad ora non abbiamo ancora visto: la radice va sempre isolata rispetto a tutti gli altri termini. Questo significa che il radicale deve stare da solo o a primo o a secondo membro.

esempio-equazioni-irrazionale-maggiore

Come puoi vedere nell’ultima disequazione abbiamo svolto un quadrato di binomio per arrivare alla soluzione temporanea. Per ottenere la soluzione dell’esercizio è necessario fare uno studio dello schema grafico.

 disequazioni-irrazionali-soluzioni-grafichePoiché stiamo risolvendo una sistema di disequazioni, bisogna prendere l’intervallo in cui c’è sempre linea continua. Ecco la ragione per cui la soluzione dell’esercizio è: +2<x<+3.

3. Aumentiamo il grado di difficoltà e proviamo a risolvere esercizi con le equazioni irrazionali con due radicali. Vediamo subito la traccia ed iniziamo a risolvere:

disequazioni-irrazionali-con-2-radici

La prima operazione è stata quella di portare tutte le radici allo stesso membro e poi scrivere un sistema con le due condizioni di esistenza dei radicali e l’elevazione a potenza. Quest’ultima operazione riesce in genere più difficile agli studenti ma è piuttosto semplice: ogni radicale va considerato come un termine a parte.

Per cui il binomio di cui fare il quadrato è composto da 2 radici. Si fa così il quadrato del primo radicale, il quadrato del secondo radicale e il doppio prodotto, che come risultato mi dà una nuova radice. Poche semplici operazioni algebriche e mi portano al sistema finale.

A questo punto considerando che la condizione di esistenza dell’ultimo radicale ottenuto mi porterebbe alle stesse disequazioni già scritte  nel sistema, dobbiamo solo aggiungere 2-x>0, rispettando il caso 2 della teoria vista sopra.

soluzione-disequazione-irrazionale-con-2-radici

Tracce di esercizi da risolvere con soluzioni

esercizi-disequazioni-con-tre-radicali

Il primo esercizio da risolvere sulle disequazioni con gli esponenziali presenta un grado di difficoltà molto simile all’ultimo esempio visto assieme. E’ necessario quindi scrivere un solo sistema con le condizioni di esistenza di tutti i radicali e infine elevare tutto al quadrato. Fai attenzione che ti troverai una nuova disequazione irrazionale con il maggiore, per  cui dovrai rispettare il caso 3 e passare a due sistemi.

disequazioni-irrazionali-fratte

In questo esercizio avrai la possibilità di verificare il tuo grado di abilità con le disequazioni irrazionali fratte. Come per le disequazioni razionali fratte anche in questo caso dovrai studiare separatamente numeratore e denominatore imponendo ad entrambe il maggiore di zero. Al numeratore non avrai alcun problema, mentre al denominatore ti troverai a dover risolvere una disequazione irrazionale con il segno maggiore.

Se hai dubbi, incertezze sulla lezione di oggi o se non sai come risolvere i tuoi compiti, contattaci. Il nostro staff è a tua disposizione! Se la lezione ti è stata d’aiuto, lasciaci un feedback e condividi gli appunti con i tuoi compagni… potrà essere un utile risorsa anche per loro!

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