Disequazioni di secondo grado: spiegazione e schema risolutivo

Nella lezione di oggi impareremo a risolvere le disequazioni di secondo grado. Valori interni, esterni… ? Ci hai capito poco? Leggi la nostra guida per chiarire ogni dubbio.

Perché imparare a risolvere le disequazioni di 2 grado

Forma base

Come si risolvono le disequazioni di II grado

Disequazioni Spurie

Disequazioni Pure


Prima di capire come si fanno le disequazioni di secondo grado, è necessaria una premessa. Abbiamo già studiato le equazioni di secondo grado e vedemmo come calcolare il delta, necessario per trovare le due soluzioni x1 e x2. Qui il ragionamento è perfettamente analogo ma, così come abbiamo visto nelle disequazioni di primo grado, non abbiamo più delle soluzioni precise, ma degli intervalli di riferimento.

Cioè le soluzioni delle disequazioni di secondo grado mi indicano che l’incognita, la x, è compresa tra due valori. Un esempio? Anziché trovarmi x uguale a un numero, il mio risultato sarà x maggiore o minore di uno o più valori. Per risolvere disequazioni di secondo grado possiamo servirci della formula normale o delle formula ridotta come nel caso delle equazioni.

Perché sono così importanti le disequazioni di II grado?

Di disequazioni di II grado ne esistono tantissime: dalle disequazioni di secondo grado fratte a quelle logaritmiche, dalle esponenziali alle trigonometriche. Noi oggi vedremo le più semplici che sono il punto di partenza poi per risolvere anche le altre. La formula delle disequazioni di secondo grado è molto utile non solo nel programma che stai affrontando quest’anno a scuola, ma ti servirà anche, ad esempio in geometria analitica per studiare l’equazione della parabola.

Disequazione di secondo grado nella forma base

Qualsiasi sia l’esercizio che tu debba affrontare, per quanto possa essere difficile, ricorda che il tuo obiettivo è di avere una forma di questo tipo:

disequazioni-di-secondo-grado-tipi

dove i 3 coefficienti a, b e c sono tre numeri interi, frazioni o, perché no, dei radicali. Ti abbiamo inserito in questa prima formula tutte e possibili disequazioni che potrai dover risolvere. Affronterai infatti degli esercizi con il maggiore, il minore, il maggiore e uguale, il minore e uguale.

NOTA – se non riesci a ricordare qual è il maggiore e quale il minore, ricordati questa regola: il minore ha la punta verso sinistra!

Come risolvere le disequazioni di secondo grado

  • Passo 1: Passiamo dalla disequazione, all’equazione associata:
    Equazioni-di-secondo-gradoA questo punto risolviamo l’equazione di II grado con la formula ridotta o quella normale per trovare le due soluzioni x1 e x2. Vedremo cosa succede anche nel caso di disequazione di secondo grado con delta negativo.
  • Passo 2: Andiamo a vedere i segni del primo coefficiente con il verso della disequazione. Abbiamo due possibilità:
  1. Il coefficiente a e il verso della disequazione sono concordi, cioè se a è positivo la disequazione ha un maggiore o maggiore e uguale. Se a è negativo la disequazione ha un minore o minore e uguale.
  2. Il coefficiente a e il verso della disequazione sono discordi, cioè se a è positivo la disequazione avrà un minore o minore e uguale. Vicerversa se a è negativo la disequazione avrà il simbolo maggiore o maggiore e uguale.

Coefficiente e Verso Concordi

Riassumendo quanto abbiamo già detto ecco quali degli esempi di disequazioni di secondo grado in cui verso e coefficiente sono concordi:

disequazioni-concordi

Come si risolvono queste disequazioni? Una volta ricavate x1 e x2, le soluzioni della disequazione di II grado rientrano tra valori esterni. Che significa? Vediamolo su un piccolo grafico che dovrai imparare a fare da solo.

Come si disegna il grafico?

Disegno un semplice asse con una freccina a destra che mi indica il verso dei numeri crescenti e poi inserisco le due soluzioni x1 e x2. E’ fondamentale che siano ordinati in senso crescente altrimenti commetti un errore molto grave che può costarti un brutto voto in una verifica in classe.

valori-esterni-disequazioni-ii-grado

Valori esterni significa andare a prendere tutte le soluzioni che stanno prima di x1 e dopo x2. Per cui le disequazioni di secondo grado si risolvono scrivendo la soluzione x<x1 U x<x2 (si legge x minore di x1 unito a x maggiore di x2)

Coefficiente e Verso discordi

Ecco qualche esempio di disequazioni di II grado discordi:

disequazioni-discordi-ii-grado

In questo caso le soluzioni delle disequazioni di secondo grado saranno sul grafico individuate da valori interni.

valori-interni-disequazioni-ii-grado

Le soluzioni della disequazione sono: x1<x<x2 (si legge x compreso tra x1 e x2)

Disequazioni di secondo grado spurie

Esistono alcuni casi più semplici dove puoi evitare di fare il calcolo del delta, tra queste le disequazioni di II grado spurie. Esempio:

disequazioni-di-secondo-grado-spurie

Essendo discordi il segno del primo coefficiente e il verso allora le soluzioni della disequazione sono: x<-2 U x>0.

Disequazioni di secondo grado pure

Questo tipo di disequazioni di 2 grado sono le più sbagliate dagli studenti, perchè apparentemente le più semplici. Qui bisogna fare molta attenzione al delta negativo. Mi ritrovo infatti di fronte ad una disequazione binomia del tipo:

disequazioni-binomie

  1. Se i coefficienti a e c sono discordi puoi risolvere come una normale equazione di secondo grado pura. Quindi portiamo c al secondo membro, radice quadrata e troviamo le due soluzioni x1 e x2. I valori interni ed esterni si trovano allo stesso modo.
  2. Se i coefficienti a e c sono concordi, se provassi a usare la formula normale per le equazioni di 2 grado, avresti un delta negativo. Queste disequazioni binomie infatti vanno risolte nel seguente modo:
    disequazioni-delta-negativoPer non rendere tutto più difficile, ti consigliamo di cambiare tutti i segni nel caso in cui hai tutti “meno” davanti ai coefficienti. Col verso minore il risultato è impossibile: questo perché il binomio è sempre positivo e non può essere minore di zero. Quando c’è il verso maggiore il risultato è sempre verificato (cioè per ogni x appartenente a R).

Nella prossima lezione vedrai un’esercitazione dedicata interamente alle disequazioni di secondo grado, con esercizi svolti e da risolvere con cui potrai risolvere tutti i dubbi. Se hai dubbi sulla parte teorica fino ad ora affrontata, contattaci. Il nostro staff è a tua disposizione.

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