Coordinate Cartesiane nel piano, esercizi e teoria

Con questa lezione iniziamo il corso di geometria analitica. Vedremo cosa sono le coordinate cartesiane e ci eserciteremo ad individuare un generico punto su un asse cartesiano ortogonale.


Gli argomenti della lezione

 

Che cos’è la retta orientata?

Come disegnare gli assi cartesiani

I 4 quadranti

Le coordinate cartesiane di un punto

Come disegnare un punto sul piano

Esercizi sugli assi cartesiani


 Uno dei punti di riferimento di tutta la geometria analitica è senza dubbio il sistema di coordinate cartesiane ortogonali. Grazie a questo speciale grafico è possibile disegnare correttamente il punto, la retta, la circonferenza e tutte le figure che studieremo in questo programma.

Innanzitutto cerchiamo di capire che cos’è una retta orientata:

Data una retta r è sempre possibile fissare su di essa un verso di percorrenza, che solitamente viene indicato come verso positivo.

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Definizione di Retta Orientata

Questo significa che fissando un numero sulla retta orientata, andando nel verso della freccia si va verso numeri maggiori. Andando dall’altro senso si va verso numeri minori. Così come puoi vedere in immagine:

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Ecco come sono indicati i numeri sugli assi cartesiani

Come costruire gli assi cartesiani

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Coordinate cartesiane e il punto generico

Consideriamo ora due rette orientate che si intersecano perpendicolarmente nel punto O, detto origine degli assi cartesiani. L’asse orizzontale si chiama asse delle ascisse (o asse delle x), mentre quello verticale si chiama asse delle ordinate (o asse delle y).

Su questo speciale grafico andremo a disegnare tutte le figure che studieremo in questo programma: dalle coordinate cartesiane di un punto, al disegno di una circonferenza o di una parabola.

Si tratta di un argomento molto importante perché si ripresenterà anche durante il programma di analisi e quindi nello studio di funzione per l’esame di stato.

I 4 quadranti degli assi cartesiani

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Assi cartesiani – i 4 quadranti

Le rette orientate così individuate mi dividono il foglio di lavoro, più in generale possiamo dire che dividono il piano, in 4 quadranti. Partendo dal primo in alto a destra e muovendoci in senso antiorario, abbiamo I quadrante, II quadrante, III quadrante e IV quadrante.

Il primo quadrante sugli assi cartesiani è formato interamente da coppie di coordinate cartesiane positive. Qui infatti sia la x che la y sono positive.
(+ ; +)

Sul secondo quadrante invece disegneremo tutti i punti con ascisse negativa e ordinata positiva.
( – ; + )

Sul terzo quadrante individueremo solo coordinate cartesiane negative, sia le ascisse che le ordinate ( – ; – ). Sul quarto quadrante invece le ascisse saranno positive e le ordinate negative ( + ; – )

Coordinate cartesiane di un punto

Sul grafico in alto abbiamo individuato un generico punto P, le cui coordinate si indicano tra parentesi con un punto e virgola. La prima è la coordinata l‘ascissa x, cioè Px, mentre la seconda coordinata è l’ordinata y, cioè Py.

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Coordinate Cartesiane di un punto

Per disegnare un punto in geometria analitica, sono sufficienti quindi due coordinate cartesiane, la x e la y, quindi l’ascissa e l’ordinata. La prima la posizioneremo sulla retta orizzontale, cioè sull’asse delle ascisse, mentre la seconda coordinata cartesiana la individueremo sulla retta verticale, cioè sull’asse delle ordinate.

Ovviamente si da per scontato che conosciamo il concetto di numeri relativi e quindi sappiamo benissimo la differenza tra numeri positivi o negativi. In caso contrario ti consigliamo di andare riguardarti la lezione sui numeri relativi.

Disegnare il punto partendo dalle coordinate cartesiane

Come esercizio di questa breve lezione iniziale proveremo a posizionare alcuni punti sugli assi cartesiani:

A(+1,-3)

Come detto in precedenza, in base al punto, consideriamo le due coordinate cartesiane.

Ascissa= +1
Ordinata= -3

Quindi mi sposto di “un passo” a destra e tre verso il basso. Dato infatti che la y è negativa, invece di andare verso l’alto sulla retta orientata delle ordinate, mi muoverò verso il basso. Ottengo così il punto come in figura:

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Il punto A sugli assi cartesiani

Qualsiasi siano i numeri delle ascisse e delle ordinate del punto, che siano interi, numeri relativi, radicali, eccetera, il concetto non cambia. L’ascissa va collocata sull’asse orizzontale, l’ordinata sull’asse verticale.

Esercizi di geometria analitica sugli assi cartesiani

Puoi provare tu stesso a disegnare i seguenti punti:

B (-3;-2)      C (+5;0)      D (-1;+1)      E (+3;-3)

Come sempre restiamo a tua disposizione per dubbi, per avere gli esercizi svolti o per qualsiasi chiarimento. Ti basta semplicemente inviarci la tua domanda usando il modulo contattaci.

Dopo questa prima lezione introduttiva sugli assi cartesiani e sulle coordinate cartesiane di geometria analitica, possiamo entrare nel cuore del programma e partire con le prime formule: distanza tra due punti e punto medio su un segmento.

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