Calcolo letterale esercizi e teoria

Fino a questo momento abbiamo studiato il calcolo letterale applicato a problemi geometrici. In realtà la matematica non è fatta di soli numeri, ma anche di formule, lettere e simboli. Oggi vedremo un’introduzione al calcolo letterale.


Gli argomenti della lezione

Introduzione al calcolo letterale

Perché imparare a fare i calcoli con le lettere?

Operazioni con le lettere

Esercizi svolti e da risolvere


Introduzione al calcolo letterale

Nella scorsa lezione abbiamo visto le espressioni algebriche con i numeri relativi, applicando, se necessario le proprietà delle potenze. Oggi inizieremo ad anticipare il calcolo letterale di monomi e polinomi.

Perché fare il calcoli con le lettere?

Le espressioni algebriche che abbiamo imparato a risolvere non sono fatte solo di numeri, ma anche di lettere. Il calcolo letterale in geometria è fondamentale. Quando noi diciamo che l’area di un rettangolo si calcola base per altezza, vuol dire che possiamo scrivere:

 Arettangolo=b\times h

Questa altro non è che un’espressione algebrica con le lettere. Non dobbiamo quindi meravigliarci che, anche in algebra quindi, i nostri esercizi siano fatti di numeri ma anche di lettere.

Per rispondere alla domanda “il calcolo letterale a che serve?” possiamo solo solo dire per ora che sarà fondamentale nello studio delle equazioni che vedremo più avanti: in generale il calcolo letterale serve a permetterci di calcolare qualcosa che ancora non si conosce, cioè un’incognita. Ma studieremo bene questo aspetto nelle prossime lezioni.

Calcoli algebrici e operazioni con le lettere

Ripassiamo assieme le operazioni con i numeri relativi usando questa volta le lettere.

+a-a=0

Se su una scrivania vuota io metto una penna, quindi sommo un determinato elemento e subito dopo la tolgo, chiaramente la scrivania resterà vuota. Questo significa che se ho una lettera, prima sommata e poi sottratta, il risultato sarà nullo, cioè 0.

+a+\left(+b-c\right)=+a+b-c

Se ho un segno “più” davanti ad una parentesi e al suo interno non ci sono operazioni da svolgere, posso rimuovere semplicemente la parentesi.

+a-\left(+b-c\right)=+a-b+c

Diverso è il caso in cui davanti una parentesi ho il segno meno. In questo caso, mai dimenticarlo, è necessario rimuovere la parentesi e cambiare tutti i segni all’interno.

\left(+a\right)\times \left(+b\right)=+ab

Per moltiplicare due lettere tra loro diverse, semplicemente si accostano l’una accanto all’altra, moltiplicando i segni con la regola dei segni già vista nelle scorse lezioni nelle operazioni con i numeri relativi.

Questo implica anche che, ogni volta che troviamo due lettere vicine in un’espressione algebrica, queste sono tra loro moltiplicate. Essendo valide le regole dei segni, posso anche scrivere.

\left(-a\right)\times \left(+b\right)=-ab

\left(-a\right)\times \left(-b\right)=+ab

\left(+a\right)\times \left(-b\right)=-ab

Per quanto riguarda le potenze, posso inoltre scrivere che se l’esponente è pari allora il segno meno può essere eliminato:

\left(-a\right)^{n}=a^{n}

 Se invece l’esponente è dispari è allora il segno rimane.

\left(-a\right)^{n}=-a^{n}

Valgono inoltre le cinque proprietà delle potenze già viste nella scorsa lezione.

a^{n}\times a^{m}=a^{m+n}

a^{n}\div a^{m}=a^{m-n}

\left(a^{n}\right)^m=a^{m\times n}

a^m\times b^m=(ab)^m

a^m\div b^m=(a\div b)^m

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Calcolo letterale, esercizi svolti e da svolgere

Generalmente teniamo separata la parte teorica da quella pratica. Tuttavia questa lezione di matematica, in fondo, non è stata altro che un ripasso di quanto già appreso precedentemente. Essendo stata molto rapida possiamo quindi passare immediatamente alle esercitazioni, iniziando come sempre da esercizi di calcolo letterale svolti.

\left(2a+b\right)^{3}-2\cdot \left(a+b\right)^{2} ...... dove.... a=-\frac{1}{2}|b=-1

Questi tipi di esercizi sul calcolo letterale sono particolarmente semplici. E’ sufficiente sostituire alla lettera il valore indicato sulla destra per ottenere una semplice espressione algebrica numerica.

Consiglio: quando andiamo a sostituire, ricordiamoci di inserire una parentesi nei valori inseriti. Ecco come…

\left[2\left(-\frac{1}{2}\right)+\left(-1\right)\right]^{3}-2\cdot \left[\left(-\frac{1}{2}+\left(-1\right)\right]^{2}=

\left[-1-1\right]^{3}-2\cdot \left(-\frac{1}{2}-1\right)^{2}=

\left[-2\right]^{3}-2\cdot \left(\frac{-1-2}{2}\right)^{2}=

-8-2\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=

-8-2\cdot \left(+\frac{9}{4}\right)=-8-\frac{9}{2}=\frac{-16-9}{2}=-\frac{25}{2}

Ora proviamo a risolvere il calcolo letterale con una sola variabile, ovvero con una sola lettera. Sarà, ovviamente ancora più semplice:

\frac{a^2-1}{a+1}.......... a=-\frac{5}{7}

\frac{\left(-\frac{5}{7}\right)^2-1}{\left(-\frac{5}{7}\right)+1}=\frac{\frac{25}{49}-1}{-\frac{5}{7}+1}=\frac{\frac{25-49}{49}}{\frac{-5+7}{7}}=\frac{-\frac{24}{49}}{+\frac{2}{7}}=

-\frac{24}{49}}\div\left(+\frac{2}{7}\right)=-\frac{24}{49}}\cdot\left(+\frac{7}{2}\right)=-\frac{12}{7}.

Di seguito vi proponiamo un elenco di esercizi con cui poter fare pratica con l’argomento.

esercizi-calcolo-letterale

Attenzione quando al denominatore c’è il numero 0

L’ultimo esercizio, il n.224, lo abbiamo già svolto insieme. Il testo sottolinea anche come per a=-1 il risultato sia impossibile. Vi siete già fatti un’idea del perchè?

Se non sapete rispondere a questa domanda vi consiglio di prendere la vostra calcolatrice e di provare a fare una divisione tra due numeri. Il secondo deve essere 0. Ad esempio: sette diviso zero – non fatelo a mente – cosa dice la calcolatrice? ERRORE!

Questo perché è impossibile risolvere una divisione quando al denominatore c’è 0. Questa è una regola fondamentale che approfondiremo meglio quando parleremo di condizioni di esistenza, sia negli esercizi sulle equazioni che sugli esercizi di analisi del V anno.

Per ora ci basti sapere che un divisione non può mai avere al denominatore lo 0.

Se siete riusciti a risolvere tutti gli esercizi, vi invitiamo a procedere con il prossimo capitolo. Appreso come risolvere i problemi con il calcolo letterale, possiamo finalmente passare alle proprietà e regole sui monomi.

Se invece persistono problemi o dubbi sul calcolo letterale, vi invitiamo a contattarci, restiamo come sempre a vostra disposizione.

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